lgebra Linear, Elon Lages Lima

140 A Adjunta Seção 11
Com efeito, se dim E = n então dim N(A)+dim Im(A) = n, logo
dim Im(A ∗ ) = n−dim N(A)
= n−[n−dim Im(A)]
= dim Im(A).
Esta prova do Corolário 2 é uma alternativa para o corolário do
Teorema 11.2 sem o uso de matrizes.
Na Fig. 11.1, os pares de retas perpendiculares representam pares
de subespaços, cada um dos quais é o complemento ortogonal do
outro.
Figura 11.1.
Exercícios
11.1. Seja A: E → F uma transformação linear entre espaços vetoriais
de dimensão finita, munidos de produto interno. Prove:
(a) Se A é sobrejetiva então AA ∗ : F → F é invertível e
A ∗ (AA ∗ ) −1 : F → E é uma inversa à direita de A.
(b) Se A é injetiva então A ∗ A: E → E é invertível e (A ∗ A) −1 A ∗ é
uma inversa à esquerda de A.