lgebra Linear, Elon Lages Lima

222 Tópicos Matriciais Seção 17
17.10. Use o método do exercício anterior, de modo a obter a decomposição
de Cholesky da matriz positiva
⎡ ⎤
3 4 6
a = ⎣4 6 9 ⎦.
6 9 14
17.11. Aplicando o processo de Gram-Schmidt às colunas da matriz
⎡ ⎤
1 2 2
a = ⎣3 3 4⎦,
4 −1 3
obtenha a decomposição a = qr, onde q é ortogonal e r é triangular
superior, com elementos positivos na diagonal.
17.12. Mostre como obter, a partir dos teoremas demonstrados nas
seções anteriores, cada uma das matrizes cuja existência é assegurada
nos ítens 1), 2), 3) e 4) de 17.E (Por exemplo, no item 1), se
A: R n → R n é o operador cuja matriz na base canônica E ⊂ R n é a
então p é a matriz cujas colunas são os vetores de uma base ortonormal
U = {u 1 ,...,u n } ⊂ R n , formada por autovetores de A e d é a
matriz diagonal formada pelos autovalores correspondentes.)
17.13. Dada a matriz
a =
[ ] 1 1
,
2 1
obtenha sua decomposição a = pdq a valores singulares.
17.14. Assinale V(erdadeiro) ou F(also)
( ) Toda matriz quadrada escalonada é triangular superior.
( ) Toda matriz (quadrada) triangular superior é escalonada.
( ) As duas afirmações anteriores são verdadeiras quando se trata
de matrizes invertíveis.
( ) Se a matriz a admite uma decomposição do tipo a = lu então
todas as submatrizes principais de a são invertíveis.