lgebra Linear, Elon Lages Lima

32 Bases Seção 3
Em particular, para todo i = 1,...,n−1, o vetor
v i = (0,...,1,...,0,−a i /a n ),
cuja i-ésima coordenada é 1, a última é −a i /a n e as demais são zero,
pertence a H. Além disso, os vetores v 1 ,...,v n−1 são L.I., como se
vê facilmente. Logo o subespaço H tem dimensão n−1 ou n. Como
H ≠ R n (por exemplo, o vetor v = (0,...,0,a n ) não pertence a H),
segue-se que dim H = n − 1 e os vetores v 1 ,...,v n−1 formam uma
base do hiperplano H.
Diz-se que a variedade afim V ⊂ E tem dimensão r quando V =
x+F, onde o subespaço vetorial F ⊂ E tem dimensão r.
Exercícios
3.1. Dados os vetores u = (a 1 ,a 2 ,a 3 ), v = (b 1 ,b 2 ,b 3 ) e
w = (c 1 ,c 2 ,c 3 ), escreva u ′ = (a 1 ,a 2 ), v ′ = (b 1 ,b 2 ) e w ′ = (c 1 ,c 2 ).
Supondo u ′ e v ′ L.I., existem α,β ∈ R tais que w ′ = αu ′ +βv ′ . Prove
que {u,v,w} é L.D. se, e somente se, w = αu+βv (com os mesmos α
e β). Use esse critério para determinar se os vetores u, v e w abaixo
são L.I. ou L.D.:
(a)
u = (1,2,3), v = (1,3,2), w = (−1,2,3)
(b) u = (1,2,3), v = (1,3,2), w = (1,4,1).
3.2. Mostre que as matrizes a, b e c abaixo são L.I.:
[ ] [ ] [ ]
1 1 1 0 1 1
a = , b = , c = .
0 0 0 1 1 1
3.3. Prove que os polinômios seguintes são linearmente independentes:
p(x) = x 3 −5x 2 +1, q(x) = 2x 4 +5x−6, r(x) = x 2 −5x+2.
3.4. SejaXum conjunto de polinômios. Se dois polinômios quaisquer
pertencentes a X têm graus diferentes, prove que X é L.I. .