lgebra Linear, Elon Lages Lima

148 Subespaços Invariantes Seção 12
Demonstração: Seja n = dim E. Como dim L(E) = n 2 , os
n 2 + 1 operadores I,A,...,A n2 são linearmente dependentes. Portanto
existem números reais α o ,...,α n 2, não todos nulos, tais que
α o I+α 1 A+···+α n 2A n2 = 0. Sejaα m o coeficiente não-nulo de maior
índice nesta expressão. Dividindo-a por α m , obtemos um polinômio
mônico p(x) = β o + β 1 x + ··· + β m−1 x m−1 + x m tal que p(A) = 0.
Sabemos que existe uma fatoração p(x) = p 1 (x)·p 2 (x)···p k (x), onde
cada p i é um polinômio mônico irredutível de grau 1 ou 2. Temos
p 1 (A) · p 2 (A)···p k (A) = 0. Logo, pelo menos um dos operadores
p i (A) não é invertível. Assim, existe um vetor não-nulov ∈ E tal que
p i (A)·v = 0.
Teorema 12.1. Todo operador linear num espaço vetorial de dimensão
finita possui um subespaço invariante de dimensão 1 ou 2.
Demonstração: DadoA: E → E, sejampopolinômio ev ∈ E o vetor
não-nulo dados pelo lema, com p(A) · v = 0. Se p(x) = x − λ então
Av − λv = 0, donde Av = λv, logo a reta que passa pela origem e
contém v é um subespaço invariante por A, de dimensão 1. Se p tem
grau 2, p(x) = x 2 +ax+b, então A 2 v+aAv+bv = p(A)·v = 0, logo
A(Av) = −aAv−bv. Isto mostra que o subespaço gerado por v e Av
é invariante por A. Além disso, v e Av são L.I. pois se tivéssemos
Av = λv então
0 = A 2 v+aAv+bv = λ 2 v+aλv+bv = (λ 2 +aλ+b)v,
donde λ 2 +aλ+b = 0, uma contradição pois p(x) = x 2 +ax+b não
tem raiz real. Logo o subespaço invariante gerado por v e Av tem
dimensão 2.
Um operador linear num espaço vetorial de dimensão n admite
no máximo n autovalores distintos. Isto é conseqüência do
Teorema 12.2. A autovalores diferentes do mesmo operador correspondem
autovetores linearmente independentes.
Demonstração: Dado o operador linear A: E → E, sejam v 1 ,...,v m
vetores não-nulos em E tais que Av 1 = λ 1 v 1 ,...,Av m = λ m v m , onde
os números reais λ 1 ,...,λ m são dois a dois diferentes. Provaremos,
por indução, que esses vetores são L.I. . A afirmação é óbvia quando
m = 1. Supondo-a verdadeira para m − 1 vetores, inferiremos daí