lgebra Linear, Elon Lages Lima

196 Pseudo-inversa Seção 16
de A é a correspondência A + : F → E que associa a cada y ∈ F o
vetor A + y = x ∈ E de menor norma entre todos os vetores x ∈ E que
tornam mínima a distância |y−Ax|. (Fig. 16.1.)
Figura 16.1.
Descrevamos como opera a pseudo-inversa A + : F → E. Dado
y ∈ F, o vetor de Im(A) mais próximo de y é a projeção ortogonal
y o de y sobre Im(A), caracterizada pelo fato de que y o ∈ Im(A)
e y − y o é perpendicular a (todos os vetores de) Im(A), ou seja,
y − y o ∈ N(A ∗ ). Como y o ∈ Im(A), existem vetores x ∈ E tais
que Ax = y o . Se x é um deles, os demais são da forma x + z, onde
z ∈ N(A), pelo Teorema 6.4. Dentre estes vetores x + z, o de menor
norma é x−x o , onde x o é a projeção ortogonal de x sobre N(A)
pois sendo x−x o perpendicular a N(A), Pitágoras nos dá, para todo
z ∈ N(A):
|x+z| 2 = |x−x o +z+x o | 2 = |x−x o | 2 +|z+x o | 2 ≥ |x−x o | 2 .
(pois z+x o ∈ N(A), logo é perpendicular a x−x o ). Portanto A + y =
x − x o . Note que, sendo ortogonal a N(A), A + y pertence a Im(A ∗ ).
Na realidade, A + y é o único vetor da imagem de A ∗ tal que AA + y =
y o . (Com efeito, A, restrita a Im(A ∗ ), é injetiva, visto que Im(A ∗ )∩
N(A) = {0}.)
Esta definição da pseudo-inversa de uma transformação linear
A: E → F apresenta-a como uma função bem definida A + : F → E,
com as propriedades geométricas procuradas, porém não deixa claro
se A + é uma transformação linear. Usando o Teorema 13.10, apresentaremos
em seguida uma transformação A ′ : F → E, que certamente
é linear mas que usa certas bases escolhidas em E e F, de