lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Subespaços Invariantes
Quanto menor é a dimensão do espaço E, mais fácil é estudar os operadores
lineares A: E → E. (Isto é especialmente verdadeiro quando
dim E = 1 ou dim E = 2.) Por isso, quando se tem um operador
A: E → E, é natural que se tente, de alguma maneira, “decompô-lo”
em operadores definidos em subespaços de dimensões menores. O
passo inicial nessa busca é a noção de subespaço invariante por um
operador, que estudaremos nesta seção. E o caso de maior êxito é o
dos operadores auto-adjuntos; como veremos na seção seguinte, todo
operador daquele tipo se decompõe em operadores uni-dimensionais.
Outros exemplos de sucesso serão vistos nas Seções 14 e 15. As bases
serão lançadas agora.
Provaremos nesta seção (Teorema 12.1) que, dado um operador
linear A: E → E num espaço vetorial de dimensão finita, ou bem
existe um vetor não-nulo u ∈ E tal que Au = λu ou então existem
u,v ∈ E linearmente independentes tais que Au e Av são ambos
combinações lineares de u e v: Au = αu + βv, Av = γu + δv. Este
fato será fundamental para o estudo de certos tipos particularmente
importantes de operadores, como os auto-adjuntos e os ortogonais,
que abordaremos nas seções seguintes.
Para demonstrar o Teorema 12.1, faremos uso do chamado Teorema
Fundamental da Álgebra, do qual resulta que todo polinômio
mônico real se decompõe como produto de polinômios mônicos irre-