lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 21 Espaços Vetoriais Complexos 293
u ∗ a ∗ au = u ∗ aa ∗ u. Multiplicando esta igualdade à esquerda por u e
à direita por u ∗ obtemos a ∗ a = aa ∗ logo a é normal.
Corolário. Se A: E → E é um operador hermitiano, existe uma base
ortonormal de E formada por autovetores de A.
A matriz de A nesta base é diagonal e, sendo hermitiana, os elementos
da diagonal são números reais. Segue-se que os autovalores
de um operador hermitiano são todos reais.
Outro caso particular de operador normal é um operador unitário
o qual também admite uma base ortonormal formada por auto-vetores.
Os autovalores de um operador unitário são números complexos
de módulo 1.
Exercícios
21.1. Seja E um espaço vetorial real. O complexificado de E é o
conjunto E c cujos elementos são as expressões formais u + iv, com
u,v ∈ E e i = √ −1. Em E c , a igualdade u + iv = u ′ + iv ′ significa,
por definição, que u = u ′ e v = v ′ . A soma é definida por (u + iv) +
(u ′ +iv ′ ) = (u+u ′ )+i(v+v ′ ) e o produto por um número complexo
é, ainda por definição, (α + iβ)(u + iv) = (αu − βv) + i(βu + αv).
Para todo u ∈ E, escreve-se u + i0 = u e com isso tem-se E ⊂ E c .
O complexificado de um operador linear A: E → E é A c : E c → E c ,
definido por A c (u+iv) = Au+iAv. Prove:
(a) E c é um espaço vetorial complexo e A c : E c → E c é um operador
C-linear. O complexificado de R n é C n . E ⊂ E c mas E não é um
subespaço vetorial (complexo) de E c .
(b) Toda R-base {u 1 ,...,u n } ⊂ E é uma C-base de E c . Em particular,
dim C E c = dim R E. A matriz de A c : E c → E c relativamente
à base {u 1 ,...,u n } ⊂ E coincide com a matriz de A na mesma
base. Os polinômios característicos de A c e de A são iguais.
(c) Seλ=α+iβ, comβ≠0, é autovalor deA c , correspondente ao autovetoru+iv∈E
c , então{u,v} é a base de um subespaço vetorial