lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 13 Operadores Auto-Adjuntos 163
c > b 2 /a > 0, logo a + c > 0 e o sinal comum das raízes é positivo.
Portanto as condições a > 0 e ac−b 2 > 0 (ou c > 0 e ac−b 2 > 0) são
necessárias e suficientes para que a matriz simétrica a seja positiva.
Para que se tenha a ≥ 0 é necessário e suficiente [ que]
ac − b 2 ≥ 0,
1 −1
a ≥ 0 e c ≥ 0. Assim, por exemplo, a matriz é positiva e
−1 2
[ ] 1 1
é não-negativa.
1 1
Um operador X: E → E chama-se raiz quadrada do operador
A: E → E quando X 2 = A.
Para uso na demonstração do Teorema 13.8, apresentaremos
uma noção que tem outras aplicações.
Se λ é um autovalor do operador A: E → E, o conjunto
E λ = {v ∈ E;Av = λv}
é um subespaço vetorial de E, invariante por A, chamado um autosubespaço.
Restrito a E λ , o operador A é simplesmente a multiplicação
por λ. Assim, todo vetor não-nulo em E λ é um autovetor de A,
com autovalor λ.
Quando A é auto-adjunto e λ 1 ,...,λ r são seus autovalores distintos
então, pelo Teorema 13.4, para i ≠ j, todo vetor em E λi é ortogonal
a qualquer vetor em E λj . Além disso, pelo Teorema Espectral,
todo vetor v ∈ E se escreve, de modo único, como v = v 1 + ··· + v r ,
onde v 1 ∈ E λ1 ,...,v r ∈ E λr , ou seja, E é soma direta dos subespaços
E λ1 ,...,E λr .
Teorema 13.8. Todo operador não-negativo A: E → E, num espaço
vetorial de dimensão finita munido de produto interno, possui uma
única raiz quadrada não-negativa, a qual é positiva se, e somente se,
A é positivo.
Demonstração: Sejam λ 1 ≥ 0,...,λ r ≥ 0 os autovalores distintos
de A. Todo vetor v ∈ E se escreve, de modo único, como v = v 1 +···+
v r , onde v 1 ∈ E λ1 ,...,v r ∈ E λr , logo Av = λ 1 v 1 +···+λ r v r . Definimos
o operador linear B: E → E pondo
Bv = √ λ 1 ·v 1 +···+ √ λ r ·v r .
Se w = w 1 + ··· + w r com w 1 ∈ E λ1 ,...,w r ∈ E λr então 〈v i ,w j 〉 = 0