lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 8 A Matriz de uma Transformação Linear 99
8.33. Calcule o posto da matriz
⎡ ⎤
1 2 3
⎣4 5 6⎦
2 1 0
e mostre que o subespaço gerado por suas linhas é diferente daquele
gerado por suas colunas.
8.34. Obtenha números a, b, c tais que ax + by + cz = 0 seja a
equação do plano gerado pelas colunas da matriz
⎡ ⎤
1 1 1
⎣1 2 3⎦ .
2 3 4
8.35. Seja A: E → E um operador linear no espaço vetorial E, de
dimensão finita. Supondo que A não seja um múltiplo do operador
identidade, mostre que existem bases de E do tipo {v,Av,...} e
{v,2Av,...}. Relativamente a estas bases, as matrizes de A são diferentes.
Conclua que os operadores αI são os únicos cuja matriz
não depende da base escolhida e que as matrizes do tipo αI n são as
únicas que comutam com todas as matrizes invertíveis n×n.
8.36. Seja a uma matriz triangular (isto é,a ij = 0 sei < j)n×n cujos
elementos da diagonal são todos iguais a zero. Mostre que a n = 0.
[Sugestão: considere o operador A: R n → R n cuja matriz na base
canônica é a.]
8.37. O traço de uma matriz quadrada a = [a ij ] ∈ M(n×n) é a soma
tr a = a 11 + ··· + a nn dos elementos da sua diagonal. Prove que
tr(ab) = tr(ba) e conclua que todas as matrizes do mesmo operador
A: E → E, num espaço E de dimensão finita, têm o mesmo traço, o
qual se indica com a notação tr A.
8.38. Prove que o traço de um operador linear idempotenteP: E → E
é um número inteiro, igual ao seu posto.
8.39. Seja c = [c ij ] ∈ M(n × n) uma matriz de posto 1. Prove que
c 2 = (tr c).c e, mais geralmente, para todo n > 1, c n = (tr c) n−1 c.