lgebra Linear, Elon Lages Lima

168 Operadores Auto-Adjuntos Seção 13
13.3. Se B é invertível e BAB ∗ é auto-adjunto, prove que A é autoadjunto.
13.4. Sejam P uma projeção ortogonal e α > 0. Exprima a raiz
quadrada positiva de I+αP em termos de P.
13.5. Seja A auto-adjunto. Prove que A k v = 0 implica Av = 0.
13.6. Assinale se cada um dos seguintes subconjuntos do espaço
vetorial L(E) é um subespaço vetorial (S), um cone (C), um cone convexo
(CC):
( ) operadores normais (Veja Exerc. 12.7.)
( ) operadores auto-adjuntos
( ) operadores não-negativos
( ) homotetias.
13.7. Sejam S,T ∈ L(E) involuções auto-adjuntas. Prove que ST é
uma involução auto-adjunta se, e somente se, ST = TS.
13.8. Dados os vetores v = (2,−1,−2), e w = (3,−6,−6), determine
o operador auto-adjunto A: R 3 → R 3 tal que Av = (1,1,13) e Aw =
(3,21,33), sabendo que o traço de A é 5.
13.9. Dados os vetores u = (4,4,−2), v = (4,−2,4) e w = (1,−2,
−2), seja A: R 3 → R 3 o operador linear tal que Au = (10,−2,−2),
Av = (−2,10,−2) e Aw = (1,1,−5). Prove que A é auto-adjunto.
13.10. Dado o subespaçoF ⊂ E, considere as transformações lineares
P: E → F e J: F → E, onde P é a projeção ortogonal (de núcleo F ⊥ ) e
Jv = v para todo v ∈ F. (J chama-se a inclusão de F em E.) Determine
as adjuntas P ∗ : F → E e J ∗ : E → F.
13.11. SejaA: E → E o operador de posto 1 definido porAv = 〈v,a〉b.
(E é um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno, e
a,b ∈ E são vetores não-nulos.) Prove que A é auto-adjunto se, e
somente se, b é múltiplo de a. Além disso, A é não-negativo se, e
somente se, pode-se tomar b = a. Dada uma base ortonormal em E,
determine a matriz de A em função das coordenadas de a e b nessa
base. (Veja Exercício 10.32.)