lgebra Linear, Elon Lages Lima

132 Produto Interno Seção 10
um conjunto ortonormal com o maior número possível de elementos.
Para todo vetor v ∈ E, o vetor
w = v−
r∑
〈v,u i 〉u i
i=1
é ortogonal a u 1 ,...,u r . Pela maximalidade de U, tem-se w = 0, logo
U gera E e é uma base ortonormal.”
10.31. Seja E um espaço vetorial com produto interno. Prove que,
para quaisquer u,v ∈ E, tem-se ||u|−|v|| ≤ |u−v|.
10.32. Prove que um operador A: E → E, num espaço vetorial de
dimensão finita com produto interno, tem posto 1 se, e somente se,
existem vetores não-nulos a,b ∈ E tais que Av = 〈v,a〉b para todo
v ∈ E. (Compare com o Exercício 8.27.)
10.33. Num espaço vetorial E com produto interno, o cosseno do
ângulo entre dois vetores não-nulos u, v é definido como cos(u,v) =
〈u,v〉/|u||v|. Prove que se u e v são ortogonais e não-nulos então
cos 2 (u,u−v)+cos 2 (v,u−v) = 1. (A soma dos quadrados dos cossenos
dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é igual a 1.)
10.34. Sejam E um espaço vetorial com produto interno, C ⊂ E um
conjunto convexo e a ∈ E um ponto fora de C. Suponha que existam
x o ,x 1 ∈ C com a seguinte propriedade: para todo x ∈ C tem-se
|a−x o | ≤ |a−x| e |a−x 1 | ≤ |a−x|. Prove que x o = x 1 .