lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 10 Produto Interno 119
Positividade: 〈u,u〉 > 0 se u ≠ 0.
Como 〈0,v〉 = 〈0+0,v〉 = 〈0,v〉 + 〈0,v〉, segue-se que 〈0,v〉 =
〈v,0〉 = 0 para todo v ∈ E.
Resulta da positividade que se 〈u,v〉 = 0 para todo v ∈ E então
u = 0. Com efeito, se fosse u ≠ 0 teríamos 〈u,v〉 ≠ 0 pelo menos
quando v = u.
Segue-se desta observação que se u,u ′ ∈ E são vetores tais que
〈u,v〉 = 〈u ′ ,v〉 para todo v ∈ E então u = u ′ . Com efeito, isto implica
que 〈u−u ′ ,v〉 = 0 para todo v ∈ E, logo u−u ′ = 0 e u = u ′ .
O número não-negativo |u| = √ 〈u,u〉 chama-se a norma ou o
comprimento do vetor u. Com esta notação, tem-se |u| 2 = 〈u,u〉 e a
igualdade
〈u+v,u+v〉 = 〈u,u〉+〈u,v〉+〈v,u〉+〈v,v〉
lê-se: |u+v| 2 = |u| 2 +|v| 2 +2〈u,v〉.
Quando |u| = 1 diz-se que u ∈ E é um vetor unitário. Todo vetor
u ≠ 0 se escreve como u = |u|·u ′ , onde u ′ é um vetor unitário. Basta
pôr u ′ = |u| −1 ·u.
Exemplo 10.1. No espaço euclidianoR n , o produto interno canônico
dos vetores u = (α 1 ,...,α n ) e v = (β 1 ,...,β n ) é definido por 〈u,v〉 =
α 1 β 1 +···+α n β n . Este é o produto interno que consideraremos em
R n , salvo aviso em contrário.
Exemplo 10.2. ConsideremosR 2 como o modelo aritmético do plano
euclidiano, no qual se introduziu um sistema de coordenadas cartesianas.
Dados u = (α 1 ,α 2 ) e v = (β 1 ,β 2 ), os números
√
|u| = α 2 1 +α2 2
e
|v| =
√
β 2 1 +β2 2
medem realmente os comprimentos das flechas que representam esses
vetores. Suponhamos u ≠ 0, v ≠ 0 e chamemos de θ o ângulo
formado por essas flechas. Afirmamos que o produto interno 〈u,v〉 =
α 1 β 1 + α 2 β 2 acima definido é igual a |u||v| cos θ. Isto será provado
em três passos: 1 ō ) Se os vetores u e v são perpendiculares, então
〈u,v〉 = 0 = |u||v| cos 90 ◦ . Com efeito, por um lado,
|u+v| 2 = 〈u+v,u+v〉 = |u| 2 +|v| 2 +2〈u,v〉