lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 6 Núcleo e Imagem 73
6.38. Sejam E, F os espaços vetoriais cujos elementos são respectivamente
as funções pares e as funções ímpares R → R. Descreva o
núcleo e a imagem das transformações linearesR: E → F([0,+∞);R)
e R ′ : F → F([0,+∞);R) que associam a cada função f: R → R sua
restrição ao intervalo [0,+∞).
6.39. Estabeleça um isomorfismo entre o espaço vetorial das matrizes
simétricas n×n e o espaço das matrizes triangulares inferiores
(a ij = 0 se i < j). Idem entre as matrizes anti-simétricas e as triangulares
inferiores com diagonal nula.
6.40. SejamF 1 eF 2 subespaços vetoriais de dimensão 3 emR 5 . Quais
são as dimensões possíveis do subespaço F 1 ∩ F 2 ? Mesma pergunta
com dim F 1 = 4 e dim F 2 = 3.
6.41. Seja A: E → E um operador linear. Prove que A 2 = 0 se, e
somente se, Im(A) ⊂ N(A).
6.42. Dadas as transformações lineares A,B: E → F, entre espaços
vetoriais de dimensão finita, prove:
(a) Se N(A) = N(B) então existe um isomorfismo Q: F → F tal que
B = QA.
(b) SeIm(A) = Im(B) então existe um isomorfismoP: E → E tal que
B = AP.
(c) Se dim N(A) = dim N(B) (ou, equivalentemente, dim Im(A) =
dim Im(B)) então existem isomorfismos P: E → E e Q: F → F tais
que B = QAP.
(d) Existem operadores lineares A,B: E → E tais que N(A)=N(B),
Im(A) = Im(B), sem que exista um isomorfismo P: E → E, com
B = P −1 AP.
6.43. Se os vetores v 1 ,...,v m ∈ E geram um subespaço vetorial de
dimensão r, prove que o conjunto dos vetores (α 1 ,...,α m ) ∈ R m
tais que α 1 v 1 + ··· + α m v m = 0 é um subespaço vetorial de R m
com dimensão m − r. [Sugestão: considere a transformação linear
(α 1 ,...,α m ) ↦→ α 1 v 1 +···+α m v m , de R m em E.]
6.44. Seja A: E → E um operador linear tal que A k = 0 para algum
número natural k. Prove que, para todo α ≠ 0, o operador A−αI é
invertível.