lgebra Linear, Elon Lages Lima

96 A Matriz de uma Transformação Linear Seção 8
Teorema 8.1. Em particular, prove que se a e b são matrizes n×n
com ba = I n então se tem também ab = I n . (Cfr. Corolário do
Teorema 6.7.)
8.15. Sejam dados os vetores v 1 ,...,v n ∈ R n . Se, para cada j =
1,...,n, o j-ésimo vetor da base canônica de R n se exprime como
e j = x 1j v 1 +···+x nj v n ,
prove que x = [x ij ] é a inversa da matriz que tem v 1 ,...,v n como
vetores-coluna.
[ ]
Ir 0
8.16. Determine a inversa da matriz onde a ∈ M(s × r) e
a I s
0 ∈ M(r×s).
8.17. Sejam a ∈ M(m × m) uma matriz de posto r e b ∈ M(n × n)
uma matriz de posto s. Prove que a matriz (m+n)×(m+n) abaixo
tem posto r+s: [ a
] 0
0 b
O símbolo 0 na primeira linha significa a matriz nulam×n e, na
segunda linha, 0 ∈ M(n×m).
8.18. Dadas a ∈ M(m×m), b ∈ M(n×n) e c ∈ M(m×n), com posto
de a = r e posto de b = s, que postos pode ter a matriz abaixo?
[ ] a c
0 b
[ ] a b
8.19. Seja , com b ≠ 0, a matriz de um operador A: R
c d
2 → R 2
na [ base canônica. ] Ache uma base de R 2 na qual a matriz de A seja
0 1
.
bc−ad a+d
8.20. Determine a matriz da projeção P: R 2 → R 2 , P(x,y) = (x,0)
relativamente à base {u,v} ⊂ R 2 , onde u = (1,1) e v = (1,2).
8.21. Sabendo que a matriz do operador A: R 3 → R 3 relativamente
à base {u,v,w} ⊂ R 3 , onde u = (1,1,1), v = (1,2,1), w = (1,1,3), é
⎡ ⎤
3 1 3
1
⎣ 0 2 0 ⎦ ,
2
−1 −1 −1