lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 20 O Polinômio Característico 277
20.3. No espaço vetorial E, de dimensão finita, com produto interno,
seja Av = 〈v,a〉b um operador de posto 1. Escreva a matriz de A
numa base ortonormal que comece com u 1 = a/|a| e, a partir daí,
determine o polinômio característico de A, seus autovetores e seus
autovalores com as respectivas multiplicidades.
20.4. Qual o coeficiente de λ 2 no polinômio característico p a (λ) de
uma matriz a = [a ij ] ∈ M(3×3) ?
20.5. Seja F 1 ⊂ E um subespaço invariante pelo operador linear
A: E → E. Se E = F 1 ⊕F 2 , seja P a projeção sobre F 2 paralelamente a
F 1 . Indique com A 1 : F 1 → F 1 a restrição de A a F 1 e com A 2 : F 2 → F 2
o operador dado por A 2 v = PAv, v ∈ F 2 . Prove que p A (λ) = p A1 (λ) ·
p A2 (λ). Seja U uma base de E, formada por uma base de F 1 seguida
por outra de F 2 . Mostre que a matriz de A na base U tem a forma
[
a1 b
0 a 2
]
onde a 1 e a 2 são as matrizes de A 1 e A 2 respectivamente. Dê um
enunciado mais simples, em termos de matrizes, para a proposição
cuja tese é p A (λ) = p A1 (λ)·p A2 (λ).
20.6. Determine o polinômio característico, ache os autovalores e
exiba uma base de autovetores para a matriz
⎡ ⎤
4 −3 1 1
⎢2 −1 1 1
⎥
⎣0 0 −4 3⎦
0 0 2 1
20.7. Determine o polinômio característico e os autovalores da matriz
⎡
⎤
4 −3 a 3 a 4 a 5 a 6
2 −1 b 3 b 4 b 5 b 6
0 0 −4 3 c 5 c 6
⎢0 0 2 1 d 5 d 6
⎥
⎣0 0 0 0 1 3 ⎦
0 0 0 0 3 −1
20.8. Quais são os autovetores do operador de derivaçãoD: C ∞ (R) →
C ∞ (R) ?