lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Tópicos Matriciais
Salvo o item C e a observação final do item G, os assuntos tratados
nesta seção não serão necessários para entender as seguintes. Alguns
deles são traduções, para a linguagem das matrizes, de teoremas e
métodos apresentados nas seções precedentes, outros são tópicos matriciais
interessantes em si mesmos ou temas clássicos do cálculo matricial
que se têm revelado úteis, especialmente sob o ponto de vista
computacional.
17.A Matrizes de Gram
Seja E um espaço vetorial de dimensão finita, munido de produto
interno. A matriz de Gram dos vetores v 1 ,...,v k ∈ E é a matriz
g = [g ij ] ∈ M(k×k), ondeg ij = 〈v i ,v j 〉. Quando precisarmos ser mais
explícitos, escreveremos g = g(v 1 ,..., v k ).
Dada uma base U = {u 1 ,...,u n } ⊂ E, seja a = [a ij ] ∈ M(n×k) a
matriz das coordenadas dos vetores v j em relação à base U, isto é:
v j = a 1j u 1 +···+a nj u n para
j = 1,...,k.
Seja ainda h = [h ij ] ∈ M(n×n) a matriz de Gram da base U, isto é,
h ij = 〈u i ,u j 〉. Então, para i,j = 1,...,k, temos (escrevendo m ij para