lgebra Linear, Elon Lages Lima

70 Núcleo e Imagem Seção 6
6.19. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):
( ) Se a transformação linear A: R m → R n é injetiva então
dimIm(A) = m.
( ) Se A: R m → R n é sobrejetiva então dimN(A) = m−n.
( ) Se A,B ∈ L(R n ) são tais que dimIm(A) = dimIm(B) então
dim Im(AB) = dimIm(BA) = dimIm(A).
( ) Se N(A) é gerado pelos vetores v 1 , v 2 , v 3 então a imagem do
operador A: R 5 → R 5 tem dimensão 2.
6.20. Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações
lineares abaixo e indique quais são sobrejetivas.
(a) A: R 2 → R 2 , A(x,y) = (x−y,x−y).
(b) B: R 4 → R 4 , B(x,y,z,t) = (x+y,z+t,x+z,y+t).
(c) C: R 3 → R 3 , C(x,y,z) = ( x+ y 2 ,y+ z 2 ,z+ x 2)
.
(d) D: M(2×2) → M(2×2), D·X = AX, onde A =
(e) E: P n → P n+1 , E·p(x) = x·p(x).
[ ] 1 1
.
0 1
6.21. Prove que as transformações lineares a seguir são sobrejetivas
e obtenha uma inversa à direita linear para cada uma delas.
(a) A: R 3 → R 2 , A(x,y,z) = (2x+y,z).
(b) B: P n → R, B·p(x) = p(1).
(c) C: R 2 → R 2 , C(x,y) = (x+y,x−y).
(d) P: R n → R n−1 , P(x 1 ,...,x n ) = (x 1 ,...,x n−1 ).
Mostre que em três dos quatro exemplos acima, as transformações
dadas admitem infinitas inversas à direita lineares e infinitas
não-lineares.