lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Operadores Auto-Adjuntos
O Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos, a ser provado
nesta seção, é um dos resultados mais relevantes da Álgebra Linear.
Serão também demonstradas algumas de suas conseqüências, entre
as quais se destaca o Teorema dos Valores Singulares.
Um operador linear A: E → E, num espaço vetorial munido de
produto interno, chama-se auto-adjunto quando A = A ∗ , ou seja,
quando 〈Au,v〉 = 〈u,Av〉 para quaisquer u,v ∈ E.
Se A,B: E → E são operadores auto-adjuntos e α ∈ R então
(A + B) ∗ = A ∗ + B ∗ = A + B e (αA) ∗ = αA ∗ = αA, logo A + B e
αA são auto-adjuntos.
O produto AB dos operadores auto-adjuntos A, B é auto-adjunto
se, e somente se, A e B comutam, isto é, AB = BA. Com efeito, sendo
A e B auto-adjuntos, temos
(AB) ∗ = B ∗ A ∗ = BA.
Logo, AB é auto-adjunto se, e somente se, BA = AB.
Exemplo 13.1. Sejam A,B: R 2 → R 2 os operadores lineares definidos
por A(x,y) = (x,2y) e B(x,y) = (y,x). Para todo v = (x,y)
tem-se:
〈e 1 ,A ∗ v〉 = 〈Ae 1 ,v〉 = 〈e 1 ,v〉 = x
〈e 2 ,A ∗ v〉 = 〈Ae 2 ,v〉 = 〈2e 2 ,v〉 = 2y,