lgebra Linear, Elon Lages Lima

292 Espaços Vetoriais Complexos Seção 21
Vemos então que det A r = det c ≥ 0, valendo det A r = 0 se,
e somente se, det A = det m = 0. Vemos também que det A r =
| det A| 2 .
Noutras palavras, dada a matriz n×n complexa m = [a kj +ib kj ],
formamos as matrizes reais a = [a kj ], b = [b kj ] ∈ M(n×n) e
[ ] a −b
c = ∈ M(2n×2n).
b a
Vale então det c = | det m| 2 .
Mais uma exibição de força do Teorema 21.3 é o seu uso para
demonstrar a versão geral do Teorema Espectral para operadores
complexos, conforme faremos agora.
Um operador C-linear A: E → E num espaço vetorial complexo,
de dimensão finita, chama-se normal quando comuta com seu adjunto,
isto é, quando cumpre a condição AA ∗ = A ∗ A. Analogamente,
uma matriz quadrada a chama-se normal quando aa ∗ = a ∗ a.
Evidentemente um operador é normal se, e somente se, sua matriz
relativamente a uma (e portanto a qualquer) base ortonormal é
uma matriz normal.
Teorema Espectral para operadores complexos. Seja E um
espaço vetorial complexo, munido de um produto interno hermitiano.
Um operador C-linear A: E → E é normal se, e somente se, existe em
E uma base ortonormal formada por autovetores de A.
Versão matricial do Teorema Espectral. Seja a matriz a ∈
M(n × n;C). A fim de que exista uma matriz unitária u tal que
d = u ∗ au é diagonal é necessário e suficiente que a ∗ a = aa ∗ .
Demonstração: Continuando com a veia matricial que tem predominado
nestas últimas páginas, provaremos a segunda versão, claramente
equivalente à primeira. Seja u uma matriz unitária tal
que t = u ∗ au seja triangular. Tomando adjuntas, vem t ∗ = u ∗ a ∗ u.
Multiplicando membro a membro: tt ∗ = u ∗ auu ∗ a ∗ u = u ∗ aa ∗ u.
Fazendo a mesma multiplicação na ordem inversa: t ∗ t = u ∗ a ∗ au.
Como aa ∗ = a ∗ a, concluímos que t ∗ t = tt ∗ . Ora, sendo triangular
e normal, t deve ser diagonal. (compare (tt ∗ ) ii com (t ∗ t) ii para
i = 1, depois i = 2, etc.) Assim u ∗ au é diagonal. Reciprocamente, se
d = u ∗ au é diagonal então dd ∗ = d ∗ d, o que nos dá imediatamente