lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 19 Determinantes 253
Definamos, a seguir, o determinante de uma matriz quadrada.
Dada a ∈ M(n × n), escreveremos, de agora em diante, a =
[v 1 ,..., v n ] para significar que v 1 ,...,v n são os vetores-coluna da
matriz a. Seja A: R n → R n o operador linear cuja matriz na base
canônica de R n é a, ou seja, Ae 1 = v 1 ,...,Ae n = v n .
Por definição, o determinante da matriz a é igual a det A.
Assim, se f o ∈ A n (R n ) é a forma n-linear alternada tal que
f o (e 1 ,...,e n ) = 1 (vide Teorema 19.4) então
ou seja:
det a = det A = det A.f o (e 1 ,...,e n ) = f o (Ae 1 ,...,Ae n ),
det a = f o (v 1 ,...,v n ).
Portanto det: M(n×n) → R é a única função n-linear alternada
das colunas da matriz a = [v 1 ,...,v n ] que assume o valor1na matriz
identidade I n .
Para uma qualquer função n-linear alternada f(a) = f(v 1 ,...,
v n ) das colunas da matriz a = [v 1 ,...,v n ], tem-se evidentemente
f(a) = f(v 1 ,...,v n ) = c·det a, onde c = f(I n ) = f(e 1 ,...,e n ).
Escrevemos det[v 1 ,...,v n ] para indicar o determinante da matriz
cujas colunas são os vetores v 1 ,...,v n ∈ R n . A afirmação acima
destacada é a caracterização axiomática dos determinantes feita por
Weierstrass. Segundo ela, todas as propriedades dos determinantes
podem, em princípio, ser deduzidas das seguintes:
1) det[...,v i +w i ,...] = det[...,v i ,...]+det[...,w i ,...];
2) det[...,αv i ,...] = α·det[...,v i ,...];
3) det[...,v i ,...,v j ,...] = − det[...,v j ,...,v i ,...];
4) det[e 1 ,...,e n ] = 1.
Por exemplo, vale:
5) O determinante de uma matriz não se altera quando se soma a
uma de suas colunas uma combinação linear das demais.
Seja
w = ∑ j≠i
α j v j .