lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Seção 6 Núcleo e Imagem 73 6.38. Sejam E, F os espaços vetoriais cujos elementos são respectivamente as funções pares e as funções ímpares R → R. Descreva o núcleo e a imagem das transformações linearesR: E → F([0,+∞);R) e R ′ : F → F([0,+∞);R) que associam a cada função f: R → R sua restrição ao intervalo [0,+∞). 6.39. Estabeleça um isomorfismo entre o espaço vetorial das matrizes simétricas n×n e o espaço das matrizes triangulares inferiores (a ij = 0 se i < j). Idem entre as matrizes anti-simétricas e as triangulares inferiores com diagonal nula. 6.40. SejamF 1 eF 2 subespaços vetoriais de dimensão 3 emR 5 . Quais são as dimensões possíveis do subespaço F 1 ∩ F 2 ? Mesma pergunta com dim F 1 = 4 e dim F 2 = 3. 6.41. Seja A: E → E um operador linear. Prove que A 2 = 0 se, e somente se, Im(A) ⊂ N(A). 6.42. Dadas as transformações lineares A,B: E → F, entre espaços vetoriais de dimensão finita, prove: (a) Se N(A) = N(B) então existe um isomorfismo Q: F → F tal que B = QA. (b) SeIm(A) = Im(B) então existe um isomorfismoP: E → E tal que B = AP. (c) Se dim N(A) = dim N(B) (ou, equivalentemente, dim Im(A) = dim Im(B)) então existem isomorfismos P: E → E e Q: F → F tais que B = QAP. (d) Existem operadores lineares A,B: E → E tais que N(A)=N(B), Im(A) = Im(B), sem que exista um isomorfismo P: E → E, com B = P −1 AP. 6.43. Se os vetores v 1 ,...,v m ∈ E geram um subespaço vetorial de dimensão r, prove que o conjunto dos vetores (α 1 ,...,α m ) ∈ R m tais que α 1 v 1 + ··· + α m v m = 0 é um subespaço vetorial de R m com dimensão m − r. [Sugestão: considere a transformação linear (α 1 ,...,α m ) ↦→ α 1 v 1 +···+α m v m , de R m em E.] 6.44. Seja A: E → E um operador linear tal que A k = 0 para algum número natural k. Prove que, para todo α ≠ 0, o operador A−αI é invertível.
74 Núcleo e Imagem Seção 6 6.45. Se, para algum α o ≠ 0, tem-se α o I + α 1 A + ··· + α m A m = 0, prove que o operador linear A é invertível. 6.46. Sem fazer hipóteses sobre as dimensões deEeF, sejamA: E → F e B: F → E transformações lineares. Se AB é invertível, prove que A é sobrejetiva e B é injetiva. Se AB e BA são invertíveis, prove que A é invertível. 6.47. Calcule (B −1 AB) m .
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