lgebra Linear, Elon Lages Lima

152 Subespaços Invariantes Seção 12
com a ∈ M(r × r), b ∈ M(r × (n − r)), 0 ∈ M((n − r) × r) e c ∈
M((n−r)×(n−r)).
12.2. Enuncie e prove um resultado análogo ao do exercício anterior,
supondo que E = F⊕G, onde F e G são invariantes pelo operador A.
12.3. Dê exemplo de um operador linear A: R 3 → R 3 que admite um
subespaço invariante F ⊂ R 3 com a seguinte propriedade: nenhum
subespaço G ⊂ R 3 tal que R 3 = F⊕G é invariante por A.
12.4. Dado o vetor não-nulo a ∈ R 3 , determine os subespaços de
R 3 invariantes pelo operador A: R 3 → R 3 , definido por Av = a × v
(produto vetorial: veja Exercício 10.27).
12.5. Sejam A,B: E → E operadores lineares. Se AB = BA, prove
que N(B) e Im(B) são subespaços invariantes por A.
12.6. Dado o operador linear A: E → E e o polinômio p(x), prove
que os subespaços vetoriais N(p(A)) e Im(p(A)) são invariantes
por A.
12.7. Um operador A: E → E chama-se normal quando AA ∗ = A ∗ A.
Prove que se A é normal então, para todo v ∈ E, tem-se |Av| = |A ∗ v|
e conclua daí que todo auto-vetor de A é também auto-vetor de A ∗ ,
com o mesmo auto-valor. (Sugestão: seAénormal,A−λI também é.)
12.8. Se o operador A é normal, prove que N(A) ⊥ = Im(A).
12.9. Seja P: R 3 → R 3 uma projeção de posto 2. Prove que os únicos
subespaços de R 3 invariantes por P estão contidos na imagem ou
contêm o núcleo de P. E se o posto de P for igual a 1 ?
12.10. Mostre que os subespaços vetoriais de C ∞ (R,R) gerados por
cada um dos conjuntos abaixo são invariantes pelo operador de derivação
D: C ∞ (R,R) → C ∞ (R,R).
(a) {cos x, sen x};
(b) {e x ,xe x ,x 2 e x }.
12.11. Se F ⊂ R 3 é um subespaço de dimensão 2, invariante pelo
operador linear A: R 3 → R 3 , e A não possui auto-vetores em F,
prove que nenhum subespaço de dimensão 2, além deF, é invariante
por A.
12.12. Dado o operador linear A: E → E num espaço vetorial de
dimensão 3, prove que existe uma base de E relativamente à qual a