lgebra Linear, Elon Lages Lima

266 Determinantes Seção 19
19.12. Use eliminação gaussiana (escalonamento) para calcular os
determinantes das seguintes matrizes:
⎡ ⎤
1 −2 1 −1
⎢1 5 −7 2
⎥
⎣3 1 −5 3 ⎦
2 3 −6 0
e
⎡ ⎤
2 1 3 2
⎢3 0 1 −2
⎥
⎣1 −1 4 3 ⎦
2 2 −1 1
19.13. Proponha e resolva um sistema linear com o uso da regra
de Cramer e calcule pelo menos a inversa de uma matriz usando a
adjunta clássica.
19.14. Calcule os determinantes das matrizes
⎡ ⎤
1+a b c [ ]
⎣ a 1+b c ⎦ 0 Im
e
I
a b 1+c n 0
onde os zeros representam matrizes de dimensões adequadas.
19.15. Analise o seguinte argumento segundo o qual toda matriz
anti-simétrica tem determinante igual a zero: “Tem-se a T = −a,
logo det a = det a T = det(−a) = − det a, logo det a = 0. ” Contraste
com
[ ] 0 −1
det .
1 0
19.16. Defina o produto vetorial de n vetores v 1 ,...,v n ∈ R n+1
como o vetor v = v 1 × ··· × v n tal que, para todo w ∈ R n+1 , temse
〈w,v〉 = det[v 1 ,...,v n ,w] = determinante da matriz cujas colunas
são os vetores v 1 ,...,v n ,w nesta ordem. Prove:
(a) O vetor v = v 1 × ··· × v n ∈ R n+1 está bem definido e é uma
função n-linear alternada dos vetores v 1 ,...,v n .
(b) Seja a = [v 1 ,...,v n ] a matriz (n + 1) × n cujas colunas são
v 1 ,...,v n . Para cadai = 1,...,n+1, seja a i ∈ M(n×n) a matriz
obtida de a pela omissão da i-ésima linha. Prove que a i-ésima
coordenada do vetor v = v 1 ×···×v n é igual a (−1) n+i+1 det a i .
(c) O produto vetorial v = v 1 ×···×v n é ortogonal a v 1 ,...,v n .