lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 21 Espaços Vetoriais Complexos 289
Teorema 21.3. Todo operador C-linear A: E → E é triangularizável.
A demonstração é a mesma do Teorema 20.1. Só que agora não
é necessário fazer hipótese adicional sobre A porque todo operador
linear complexo tem autovetor.
Como anteriormente, vale a importante observação de que se E
possui produto interno hermitiano, o enunciado acima pode ser tornado
mais preciso: existe uma base ortonormal U ⊂ E na qual a
matriz deAétriangular superior (ou inferior, se assim o quisermos).
A versão matricial desse teorema é: para toda matriz complexa
a existe uma matriz unitária u tal que u ∗ au = u −1 au = t é uma
matriz triangular.
Vejamos, a seguir, algumas conseqüências do Teorema 21.3. Na
primeira delas, temos um operador linear A: E → E num espaço
vetorial complexo E.
Teorema de Cayley-Hamilton. Se p A é o polinômio característico
do operador C-linear A: E → E então p A (A) = 0.
Demonstração: segue exatamente a linha da demonstração do Teorema
20.2 pois, em virtude do Teorema 21.3, todo operadorC-linear
é triangularizável.
Evidentemente, vale uma versão matricial de Cayley-Hamilton.
Para toda matriz a ∈ M(n × n;C), o polinômio característico p a (λ)
é exatamente o polinômio p A (λ), onde A: C n → C n é o operador C-
linear que tem matriz a na base canônica. Tem-se também p a = p A
para qualquer operador C-linear A: E → E cuja matriz, relativamente
a uma base arbitrária emE, seja igual a a. Qualquer que seja
o polinômio q(λ), vemos que q(a) ∈ M(n×n;C) é a matriz do operadorq(A)
na mesma base relativamente à qual a é a matriz deA. Portanto,
se p a é o polinômio característico da matriz a ∈ M(n×n;C),
tem-se p a (a) = 0.
Se acontecer de a matriz a ser real, seu polinômio característico
p a é um polinômio real e ainda assim se tem p a (a) = 0, pois todo
número real é complexo. Segue-se daí o
Teorema de Cayley-Hamilton para operadores reais. Seja
A: E → E um operador linear num espaço vetorial real E. Se p A é
seu polinômio característico, tem-se p A (A) = 0.