lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 14 Operadores Ortogonais 181
depende da base ortonormal U = {u,v} ⊂ E escolhida. Ora, se tomarmos
outra base ortonormal U ′ = {u ′ ,v ′ } ⊂ E, a nova matriz de A será
a ′ = p −1 ap, onde
[ ] a b
p = ,
c d
matriz de passagem deU paraU ′ , é ortogonal, logo p −1 = p T . Assim,
a ′ =
[ a c
b d
] [ cos θ − sen θ
sen θ cos θ
] [ a b
c d
]
.
Levando em conta a ortonormalidade das linhas e das colunas da
matriz p, um cálculo fácil mostra que se tem
a ′ =
[ ]
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
ou
a ′ =
[ ]
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
=
[ ]
cos(−θ) − sen(−θ)
sen(−θ) cos(−θ)
conforme seja ad−bc = 1 ou ad−bc = −1 respectivamente.
Noutras palavras, o ângulo θ fica determinado a menos do sinal.
Isto quer dizer que, num espaço vetorial de dimensão 2, munido de
produto interno, faz sentido a noção de ângulo apenas em valor absoluto.
Para que se possa falar no ângulo dotado de sinal é preciso introduzir
uma orientação em E, isto é, escolher uma base ortonormal
{u,v} ⊂ E, chamá-la de positiva e declarar que são também positivas
todas as bases ortonormais de E que se obtêm a partir desta por
meio de matrizes de passagem ortogonais cujo determinantead−bc
é igual a 1. De qualquer modo, com ou sem orientação, os operadores
ortogonais sem autovalores (juntamente com ±I) num espaço
vetorial de dimensão 2 serão chamados rotações. (I e −I são respectivamente
as rotações de ângulo 0 ◦ e 180 ◦ respectivamente.)
Teorema 14.3. Seja A: E → E um operador ortogonal num espaço
vetorial de dimensão finita munido de produto interno. Existe uma