lgebra Linear, Elon Lages Lima

298 Espaços Vetoriais Complexos Seção 21
21.21. Sejam F 1 ⊂ F 2 subespaços invariantes do operador A: E → E.
Se dim F 2 − dim F 1 ≥ 2, prove que existe um subespaço F, diferente
de F 1 e F 2 , invariante por A, tal que F 1 ⊂ F ⊂ F 2 .
21.22. Seja A: E → E um operador nilpotente no espaço vetorial E
(real ou complexo) de dimensão n. Tome k, o menor número natural
tal que A k = 0. Prove sucessivamente:
(a) {0} ⊂ N(A) ⊂ N(A 2 ) ⊂ ... ⊂ N(A k ) = E;
(b) Se N(A i ) = N(A i+1 ) então N(A i+1 ) = N(A i+2 );
(c) Nenhuma das inclusões em (a) se reduz a uma igualdade;
(d) k ≤ n.