lgebra Linear, Elon Lages Lima

250 Determinantes Seção 19
se houve repetições na lista;
g(u i1 ,...,u in ) = g(u σ(1) ,...,u σ(n) )
= ε σ g(u 1 ,...,u n )
= ε σ a
= ε σ f(u 1 ,...,u n )
= f(u i1 ,...,u in )
se (i 1 ,...,i n ) = (σ(1),...,σ(n)) for uma permutação dos inteiros
(1,...,n), isto é, se não houver repetições na lista. Segue-se então
do Teorema 19.1 que f = g. Portanto a forma n-linear alternada f
fica determinada por seu valor f(u 1 ,...,u n ).
Isto nos indica como obter uma forma n-linear alternada
f: E × ··· × E → R tal que f(u 1 ,...,u n ) = a. Para toda lista ordenada
(i 1 ,...,i n ) de inteiros compreendidos entre 1 e n, poremos
f(u i1 ,...,u in ) = 0 se houver repetições na lista, f(u i1 ,...,u in ) =
a se (i 1 ,...,i n ) for uma permutação par dos números 1,2,...,n e
f(u i1 ,...,u in ) = −a se a lista i 1 ,...,i n for uma permutação ímpar
dos números 1,2,...,n. Pelo Teorema 19.1, há uma única forma n-
linearf: E×···×E → R com estas propriedades. Resta provar quefé
alternada. Com esse objetivo, tomamos um vetorv = Σx i u i qualquer.
Então:
f(∗v∗v∗) =
n∑
x i x j f(∗u i ∗u j ∗)
i,j=1
= ∑ i
x i x i f(∗u i ∗u i ∗)+ ∑ ij
x i x j f(∗u i ∗u j ∗)
(1)
= 0+ ∑ x i x j f(∗u i ∗u j ∗)− ∑ x i x j f(∗u j ∗u i ∗)
ij
(2)
= ∑ x i x j f(∗u i ∗u j ∗)− ∑ x j x i f(∗u i ∗u j ∗)
i