lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 16 Pseudo-inversa 199
são s, t. Encontramos
Portanto
s = (2x−y)
3
e
t = (2y−x) .
3
(A ∗ A) −1 (x,y) = 1 3 (2x−y,2y−x).
Assim, para qualquer (x,y,z) ∈ R 3 temos
A + (x,y,z) = [(A ∗ A) −1 A ∗ ](x,y,z)
= (A ∗ A) −1 (x+z,y+z)
= 1 3 (2x−y+z,2y−x+z).
Exemplo 16.4. Seja B: R 3 → R 2 dada por
B(x,y,z) = 1 3 (2x−y+z,−x+2y+z).
Temos as matrizes de posto 2:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
b = 1 2 −1 1
⎣ ⎦ e b T = 1 2 −1
⎣−1 2 ⎦ .
3
3
−1 2 1 1 1
Logo B é sobrejetiva e B + = B ∗ (BB ∗ ) −1 . Como a matriz de B ∗ é b T ,
temos
B ∗ (x,y) = 1 3 (2x−y,−x+2y,x+y)
para qualquer (x,y) ∈ R 2 . Segue-se que BB ∗ : R 2 → R 2 é dado por
BB ∗ (x,y) = 1 3 B(2x−y,−x+2y,x+y)
= 1 9 (6x−3y,−3x+6y)
= 1 3 (2x−y,−x+2y).
Para determinar (BB ∗ ) −1 (x,y) = (s,t), resolvemos o sistema
BB ∗ (s,t) = (x,y), isto é, 2s − t = 3x, −s + 2t = 3y, nas incógnitas
s, t, e encontramos s = 2x+y, t = x+2y, portanto
(BB ∗ ) −1 (x,y) = (2x+y,x+2y).