lgebra Linear, Elon Lages Lima

238 Formas Quadráticas Seção 18
em dimensões maiores do que 2, onde é muito difícil calcular os autovalores),
não fornece bases ortonormais. Em particular, ele não
permite distinguir uma elipse de uma circunferência.
Em dimensão 3, as superfícies quádricas centrais Σ ⊂ R 3 têm,
num sistema de coordenadas ortogonais conveniente, uma equação
do tipo
λ 1 y 2 1 +λ 2y 2 2 +λ 3y 2 3 = 1.
As possibilidades são as seguintes:
1 ō ) Se λ 1 > 0, λ 2 > 0 e λ 3 > 0, Σ é um elipsóide.
2 ō ) Se λ 1 > 0, λ 2 > 0 e λ 3 < 0, Σ é um hiperbolóide de revolução.
3 ō ) Se λ 1 > 0, λ 2 < 0 e λ 3 < 0, Σ é um hiperbolóide de duas folhas.
4 ō ) Se λ 1 , λ 2 e λ 3 são ≤ 0, Σ é o conjunto vazio.
5 ō ) Se λ 3 = 0, Σ = C × R = {(v,t);v ∈ C,t ∈ R}, onde C ⊂ R 2 é
definido pela equação
λ 1 y 2 1 +λ 2y 2 2 = 1.
Neste caso, Σ é um cilindro de base C.
Observe que, mudando a numeração das coordenadas se necessário,
podemos sempre supor λ 1 > 0.
Há outro tipo mais geral de quádricas, além das centrais. São
subconjuntos Σ ⊂ R n definidos por uma equação do tipo
n∑
a ij x i x j +
i,j=1
n∑
b i x i = c.
A escolha de uma base ortonormal conveniente em R n faz com
que esta equação assuma a forma
i=1
r∑
n λ i y 2 i + ∑
b ′ i y i = c,
i=1
i=1
onde r é o posto da matriz [a ij ] e λ 1 ≠ 0,...,λ r ≠ 0.
Procurando eliminar o termo linear Σb ′ i y i mediante escolha de
novas coordenadas, somos levados a efetuar uma translação. (Até