lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 13 Operadores Auto-Adjuntos 159
Teorema 13.4. Se λ 1 ,...,λ m são autovalores dois a dois diferentes
do operador auto-adjunto A: E → E, os autovetores correspondentes
v 1 ,...,v m são dois a dois ortogonais.
Demonstração: Para i ≠ j quaisquer:
(λ i −λ j )〈v i ,v j 〉 = 〈λ i v i ,v j 〉−〈v i ,λ j v j 〉 = 〈Av i ,v j 〉−〈v i ,Av j 〉
= 〈Av i ,v j 〉−〈Av i ,v j 〉 = 0 pois A é auto-adjunto.
Como λ i −λ j ≠ 0, de (λ i −λ j )〈v i ,v j 〉 = 0 resulta 〈v i ,v j 〉 = 0.
Observação. Se Av = λv então, para todo múltiplo w = αv, temse
ainda Aw = λw. Logo, na situação do Teorema 13.4, os vetores
v 1 ,...,v m podem ser tomados unitários, caso haja conveniência.
Um problema importante sobre operadores num espaço vetorial
de dimensão finita é o de encontrar uma base em relação à qual
a matriz desse operador seja a mais simples possível. Mostraremos
nesta seção que, se A: E → E é um operador auto-adjunto num
espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, existe uma
base ortonormal em E, relativamente à qual a matriz de A é uma
matriz diagonal a = [a ij ], isto é a ij = 0 se i ≠ j. Este é o conteúdo do
Teorema Espectral.
Existe um tipo de operador auto-adjunto para o qual o Teorema
Espectral é imediato: se P: E → E é a projeção ortogonal sobre o
subespaço F, tomando uma base ortonormal {u 1 ,...,u n } ⊂ E cujos
primeiros vetores u 1 ,...,u m formem uma base de F (portanto os
n − m últimos formam uma base de F ⊥ ), a matriz de P nesta base
tem a forma diagonal vista no Exemplo 13.3.
Quando se diz que a matriz do operador A: E → E na base
{u 1 ,...,u n } ⊂ E é uma matriz diagonal, isto significa que, para todo
j = 1,...,n, tem-se Au j = λ j u j , ou seja, que os vetores da base dada
são todos eles autovetores de A.
No caso da projeção ortogonal sobre o subespaço F, tem-se
Pu j = u j para j = 1,...,m e Pu j = 0 se j = m + 1,...,n. Assim,
a base ortonormal acima fixada é de fato formada por autovetores
de P. Os autovalores são 1 e 0.
Começamos com o caso particular do Teorema Espectral em que
espaço tem dimensão 2.