lgebra Linear, Elon Lages Lima

20 Subespaços Seção 2
2.20. Sejam v 1 , v 2 , v 3 os vetores-linha e w 1 , w 2 , w 3 os vetores-coluna
da matriz ⎡ ⎤
1 2 3
⎣4 5 6⎦.
7 8 9
Verifique as relações v 3 = 2v 2 − v 1 , w 3 = 2w 2 − w 1 . Exprima w 1 e
w 2 como combinações lineares de v 1 e v 2 , e vice-versa. Conclua que
os vetores-linha e os vetores-coluna da matriz dada geram o mesmo
subespaço de R 3 .
2.21. Dê exemplo de uma matriz 3×3 cujos vetores-linha geram um
subespaço de R 3 diferente daquele gerado pelos vetores-coluna.
2.22. Prove que a reunião de dois subespaços vetoriais de E é um
subespaço vetorial se, e somente se, um deles estiver contido no outro.
2.23. A partir da definição, prove que, dados os números a 1 ,...,a n ,c,
o conjunto V dos vetores x = (x 1 ,...,x n ) ∈ R n tais que a 1 x 1 + ··· +
a n x n = c é um subespaço vetorial de R n se, e somente se, c = 0.
Prove a afirmação feita no texto de que V é uma variedade afim.
2.24. Seja F um subespaço vetorial de E. Assinale V(erdadeiro) ou
F(also):
( ) Se u /∈ F e v /∈ F então u+v /∈ F;
( ) Se u /∈ F e α ≠ 0 então αu /∈ F.
2.25. Diz-se que um subconjunto X de um espaço vetorial E é simétrico
quando v ∈ X ⇒ −v ∈ X. Prove que um cone convexo simétrico
e não-vazio é um subespaço vetorial de E.
2.26. Dê exemplo de um cone convexo que não seja simétrico e um
cone simétrico que não seja convexo.
2.27. Uma matriz quadrada a = [a ij ] chama-se simétrica (respect.
anti-simétrica) quando a ij = a ji (respect. a ij = −a ji ) para todo i e
todo j. Prove que o conjunto S das matrizes simétricas e o conjunto
A das matrizes anti-simétricas n × n são subespaços vetoriais de
M(n×n) e que se tem M(n×n) = S⊕A.
2.28. Seja E = F(R;R). Fixada g: R → R, mostre que o conjunto F
de todas as funções f: R → R tais que f(g(x)) = f(x) é um subespaço