lgebra Linear, Elon Lages Lima

328 A Forma Canônica de Jordan Apêndice
n = dim F, e o de A ′′ cumpre a condição p A ′′(0) ≠ 0. A prova do lema
que antecede o Teorema 20.1 nos dá p A = p A ′ ·p A ′′ . Por outro lado,
p A (λ) = λ n 0
·q(λ), com q(0) ≠ 0. Assim, λ n ·p A ′′(λ) = λ n 0
·q(λ), com
p A ′′(0) ≠ 0 e q(0) ≠ 0. Segue-se que n = n 0 . Sendo A nilpotente no
subespaço F de dimensão n 0 , tem-se F ⊂ N(A n 0). Reciprocamente,
se u ∈ N(A n 0), escrevemos u = v + w, com v ∈ F (logo A n 0v = 0) e
w ∈ G. Então0 = A n 0v+A n 0w = A n 0w. SendoAinvertível emG, de
A n 0w = 0 conclui-se que w = 0, logo u = v ∈ F. Assim, F = N(A n 0).
Para provar que G = Im(A n 0), observamos primeiro que, sendo A
invertível em G, o operador A n 0: G → G também é invertível, logo
G ⊂ Im(A n 0). Por outro lado, para todo u ∈ E, escrevendo u = v+w
com v ∈ F e w ∈ G, temos A n 0u = A n 0w ∈ G (pois G é invariante por
A) logo Im(A n 0) ⊂ G. Assim, Im(A n 0) = G. □
Observação. Para uso na demonstração do próximo teorema, notemos
aqui que seE = F 1 +···+F r e dim E ≥ dim F 1 +···+dim F r então
E = F 1 ⊕ ··· ⊕ F r . Com efeito, tomando em cada subespaço F i uma
base V i (i = 1,...,r), o conjunto V = V 1 ∪...∪V r gera E e o número
de elementos de V é ≤ dim E, logo V é uma base de E. Assim, todo
vetor v ∈ E se exprime, de modo único, como soma v = v 1 +···+v r ,
com v 1 ∈ F 1 ,...,v r ∈ F r . Noutras palavras, E = F 1 ⊕···⊕F 1 .
Teorema A2.3. Sejam λ 1 ,...,λ r os auto-valores distintos do operador
A: E → E, num espaço vetorial complexo de dimensão finita.
Para cada i = 1,...,r, sejam n i a multiplicidade algébrica de λ i e
E i = N[(A−λ i I) n i]. Então dim E i = n i e E = E 1 ⊕···⊕E r .
Demonstração: Mostremos inicialmente que n i é também a multiplicidade
algébrica do auto-valor 0 do operador A i = A − λ i I. Com
efeito,p Ai (λ) = det[(A−λ i I)−λI] = det[A−(λ+λ i )I] = p A (λ+λ i ). Temos
p A (λ) = (λ−λ i ) n i
q(λ) com q(λ i ) ≠ 0. Logo p Ai (λ) = p A (λ+λ i ) =
λ n i
· r(λ), onde r(λ) = q(λ + λ i ), portanto r(0) ≠ 0. Isto posto,
o Teorema A2.2 nos assegura que dim E i = n i . Em particular,
dim E 1 + ··· + dim E r = dim E. Pela observação que precede este
teorema, resta-nos apenas provar que E = E 1 + ··· + E r . Ora, o polinômio
característico do operador A se decompõe na forma
p A (λ) =
r∏
(λ−λ j ) n j
.
j=1