lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 8 A Matriz de uma Transformação Linear 93
(hiperplano em E). A interseção desses m hiperplanos é o subespaço
vetorial F = H 1 ∩ ... ∩ H m , formado pelos vetores v ∈ E que cumprem
simultaneamente as condições f 1 (v) = 0,...,f m (v) = 0. Qual
é a dimensão do subespaço F ? Usando o Teorema 8.2 (juntamente
com o Teorema do Núcleo e da Imagem), mostraremos agora que
dim F = n − r, onde r é o número máximo de elementos linearmente
independentes no conjunto {f 1 ,...,f m }, isto é, a dimensão do
subespaço de E ∗ gerado por estes funcionais.
Com efeito, fixemos uma base V = {v 1 ,...,v n } ⊂ E e seja
[a i1 ,...,a in ] a matriz de f i nesta base (i = 1,...,m). Temos a ij =
f i (v j ). Isto nos dá uma matriz a = [a ij ] ∈ M(m × n), cuja i-ésima
linha é a matriz de f i , logo o posto de a segundo linhas é r. Seguese
do Teorema 8.2 que os vetores-coluna w 1 ,...,w n de a geram um
subespaço de dimensão r em R m . Ora, o subespaço gerado em R m
pelos w j é a imagem da transformação linear A: E → R m , definida
por Av = (f 1 (v),...,f m (v)), para todo v ∈ E. De fato,
Av j = (f 1 (v j ),...,f m (v j ))
= (a 1j ,...,a mj ) = w j , j = 1,2,...,n.
Evidentemente, o núcleo de A é o subespaço F. Resulta então do
Teorema do Núcleo e da Imagem que dim F = dim E−dim Im(A) =
n−r.
Exemplo 8.6. O espaço-linha e o espaço-coluna da matriz
[ ] 1 1
2 2
são duas retas distintas em R 2 .
Exercícios
8.1. Determine a matriz do operador linear A: R 2 → R 2 , relativamente
à base canônica, sabendo que A(1,1) = (2,3) e A(−1,1) =
(4,5).
8.2. O produto vetorial de dois vetores v = (x,y,z) e w = (x ′ ,y ′ ,z ′ )
em R 3 é, por definição, o vetor v×w = (yz ′ −zy ′ , zx ′ −xz ′ , xy ′ −yx ′ ).