lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Formas Quadráticas
Uma forma quadrática num espaço vetorial E é uma função que, em
termos das coordenadas de um vetor relativamente a uma base de E,
se exprime como um polinômio homogêneo do segundo grau. As formas
quadráticas ocorrem com grande destaque em problemas de otimização
(máximos e mínimos), no estudo das superfícies quádricas,
na Geometria Diferencial, na Mecânica, etc. Em todas essas situações,
é relevante o conhecimento do sinal (positivo ou negativo) que
a forma pode assumir ou, mais precisamente, dos seus autovalores.
Nesta seção, é feito um estudo conciso, porém abrangente, dos principais
pontos básicos referentes a essas funções e de suas relações com
os operadores lineares, finalizando com o método de Lagrange para
diagonalização e a classificação das superfícies quádricas.
Sejam E, F espaços vetoriais. Uma forma bilinear b: E × F → R
é uma função b(u,v), linear em cada uma das duas variáveis u ∈ E,
v ∈ F. Mais precisamente, para quaisquer u,u ′ ∈ E, v,v ′ ∈ F e α ∈ R
devem valer:
b(u+u ′ ,v) = b(u,v)+b(u ′ ,v);
b(u,v+v ′ ) = b(u,v)+b(u,v ′ );
b(αu,v) = αb(u,v)
b(u,αv) = αb(u,v).
As operações evidentes de soma e produto por um número fazem
do conjunto B(E×F) das formas bilineares b: E×F → R um espaço
vetorial.