lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 4 Transformações Lineares 47
4.4. Seja A: R 2 → R 2 a projeção sobre o eixo x, paralelamente à
reta y = ax (a ≠ 0). Isto significa que, para todo v = (x,y), temse
Av = (x ′ ,0), tal que v − Av pertence à reta y = ax. Exprima x ′
em função de x e y e escreva a matriz de A relativamente à base
canônica de R 2 .
4.5. Dados os vetores u 1 = (2,−1), u 2 = (1,1), u 3 = (−1,−4), v 1 =
(1,3), v 2 = (2,3) ev 3 = (−5,−6), decida se existe ou não um operador
linear A: R 2 → R 2 tal que Au 1 = v 1 , Au 2 = v 2 e Au 3 = v 3 . Mesma
pergunta com v 3 = (5,−6) e com v 3 = (5,6).
4.6. A expressão geral de um operador linearA: R 2 → R 2 éA(x,y) =
(ax+by, cx+dy). Determine as constantes a, b, c e d de modo que
A transforme os vetores u = (1,2) e v = (3,4) nos vetores Au = (1,1)
e Av = (2,2).
4.7. A expressão geral de um funcional linear f: R 3 →R é f(x,y,z) =
ax + by + cz. Dados os vetores u = (1,2,3), v = (−1,2,3) e w =
(1,−2,3), determine a, b e c de tal modo que se tenha f(u) = 1,
f(v) = 0 e f(w) = 0.
4.8. Seja A: R 2 → R 2 o operador linear definido por A(x,y) = (5x+
4y,−3x−2y). Ache vetores não-nulos u = (x,y) e v = (s,t) tais que
Au = u eAv = 2v. São únicas as soluções? Será possível acharw ≠ 0
em R 2 com Aw = αw, onde α ≠ 1 e α ≠ 2 ?
4.9. Dê as expressões dos funcionais lineares f,g,h: R 3 → R que
formam a base dual em(R 3 ) ∗ da base{u,v,w} ⊂ R 3 , ondeu = (1,1,1),
v = (1,−1,1) e w = (1,1−1). (Vide Exercício 4.20.)
4.10. Tem-se uma transformação linear A: R 2 → R 3 . Sabe-se que
A(−1,1) = (1,2,3) e A(2,3) = (1,1,1). Pede-se a matriz a ∈ M(3×2)
de A relativamente às bases canônicas de R 2 e R 3 .
4.11. Prove que uma transformação linear A: E → F transforma
todo conjunto convexo C ⊂ E num conjunto convexo A(C) ⊂ F.
4.12. Determine a expressão do operador linear A: R 2 → R 2 , sabendo
que, para todo v = (x,y), o segmento de reta que liga v a
Av = (x ′ ,y ′ ) é horizontal e tem seu ponto médio sobre a reta y = x.
Qual é a imagem do eixo vertical pelo operador A ?
4.13. Prove que os operadores lineares E 11 ,E 12 ,E 21 ,E 22 : R 2 → R 2 ,
definidos por E 11 (x,y) = (x,0), E 12 (x,y) = (0,x), E 21 (x,y) = (y,0),