lgebra Linear, Elon Lages Lima

172 Operadores Auto-Adjuntos Seção 13
espectral da transformação linear A. Seja |A| = √ tr(A ∗ A) a norma
induzida pelo produto interno〈A,B〉 = tr(A ∗ B), definido no Exercício
11.17. Se σ 2 1 ,...,σ2 n são os autovalores de A ∗ A, tem-se
|A| =
Conclua que ||A|| ≤ |A| ≤ √ n.||A||.
√
σ 2 1 +···+σ2 n e ||A|| = max σ i .
13.29. Prove que todo operador auto-adjunto A: E → E pode ser
escrito como A = λ 1 P 1 +···+λ m P m onde:
(1) λ 1 < ··· < λ m .
(2) P 2 1 = P 1 = P ∗ 1 ,...,P2 m = P m = P ∗ m. (Cada P i é uma projeção
ortogonal.)
(3) P i P j = 0 se i ≠ j.
(4) P 1 +···+P m = I.
Prove também que a expressão A = Σλ i P i com as propriedades
(1) a (4) acima é única. (Sugestão: λ 1 < ··· < λ m são os autovalores
distintos de A e P i é a projeção ortogonal sobre o auto-espaço E λi ,
definido no Exercício 12.23.)
13.30. Prove que todo operador auto-adjunto é soma de operadores
auto-adjuntos de posto 1, os quais podem ser tomados não-negativos
se A for não-negativo. [Sugestão: Teorema Espectral.]
13.31. Chama-se produto de Hadamard de duas matrizes a = [a ij ],
b = [b ij ] ∈ M(m×n) à matriz c = [c ij ] ∈ M(m×n) com c ij = a ij ·b ij .
Prove que o produto de Hadamard de duas matrizes não-negativas
é uma matriz não-negativa. (Use o fato de que toda matriz nãonegativa
pode escrever-se como soma
a = ∑ r
a (r)
de matrizes não-negativas de posto 1, cada uma das quais tem a
forma a (r) = [a (r)
i
·a (r)
j
].) (Veja o exercício anterior.)