lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Bases
Os espaços vetoriais de dimensão finita, objetos centrais do nosso
estudo, possuem uma estrutura algébrica extremamente simples, evidenciada
pelas idéias de base e dimensão, que apresentaremos agora.
Uma vez fixada uma base num espaço vetorial de dimensão n, seus
elementos são meramente combinações lineares dosnvetores básicos,
com coeficientes univocamente determinados. Nesta seção, esses fatos
serão estabelecidos e analisados em detalhe.
Seja E um espaço vetorial. Diz-se que um conjunto X ⊂ E é linearmente
independente (abreviadamente, L.I.) quando nenhum vetor
v ∈ X é combinação linear de outros elementos de X. Para evitar
ambigüidade, no caso em que X = {v} consta de um único elemento
v, diz-se que X é L.I., por definição, quando v ≠ 0. Quando X é L.I.,
diz-se também que os elementos de X são vetores linearmente independentes.
Quando o conjunto X é L.I. seus elementos são todos ≠ 0, pois o
vetor nulo é combinação linear de quaisquer outros: 0 = 0·v 1 +···+
0·v m . (Se não há “outros”, X = {v}, v ≠ 0.)
Um critério extremamente útil para verificar a independência
linear de um conjunto é dado pelo teorema abaixo.
Teorema 3.1. Seja X um conjunto L.I. no espaço vetorial E. Se
α 1 v 1 +···+α m v m =0 com v 1 ,...,v m ∈ X então α 1 = ··· = α m =0. Reciprocamente,
se a única combinação linear nula de vetores de X é
aquela cujos coeficientes são todos iguais a zero, então X é um conjunto
L.I..