lgebra Linear, Elon Lages Lima

282 Espaços Vetoriais Complexos Seção 21
α+iβ ≠ 0 fornece uma base paraC. Em particular,{1} é umaC-base.
ConsiderandoCcomo espaço vetorial real, o conjunto{1,i} ⊂ C é L.I.
pois α·1+β·i = 0, com α,β ∈ R implica α = β = 0. Na realidade,
{1,i} é uma R-base pois todo número complexo α+iβ = α·1+β·i é
uma combinação linear real de 1 e i. Em virtude da unidimensionalidade,
os operadores C-lineares A: C → C consistem simplesmente
na multiplicação por um número complexo fixado α + iβ. Assim,
para todo v = x+iy ∈ C, tem-se Av = (α+iβ)v = (α+iβ)(x+iy) =
αx−βy+i(βx+αy).
A correspondênciax+iy ↔ (x,y) é um isomorfismo natural entre
os espaços vetoriais reais C e R 2 . Pelo que acabamos de ver, esse
isomorfismo faz corresponder a cada operador C-linear A: C → C,
um operador R-linear A r : R 2 → R 2 , dado por
cuja matriz na base canônica é
A r (x,y) = (αx−βy,βx+αy),
[ α −β
β α
]
.
Excetuemos o caso trivial A = 0. Escrevamos
ρ = √ α 2 +β 2
e tomemos θ ∈ R tal que cos θ = α/ρ, sen θ = β/ρ. Então a matriz
de A r tem a forma [ ]
cos θ − sen θ
ρ .
sen θ cos θ
Isto mostra que o operador A r é uma semelhança, composta da rotação
de ângulo θ com a homotetia de razão ρ > 0. As semelhanças
são, portanto, os operadores de R 2 que correspondem aos operadores
C-lineares não-nulos A: C → C.
Guiados pelo Exemplo 21.2, observamos que se U = {u 1 ,...,u n }
⊂ E for uma base do espaço vetorial complexo E então o conjunto
U ′ = {u 1 ,...,u n ,iu 1 ,...,iu n } ⊂ E é uma R-base, ou seja, é L.I. sobre
os reais e, além disso, todo vetor v ∈ E é uma combinação linear dos
u j e dos iu j (j = 1,...,n) com coeficientes reais.
Com efeito, se α 1 ,...,α n , β 1 ,...,β n ∈ R então
α 1 u 1 +···+α n u n +β 1 iu 1 +···+β n iu n = 0