lgebra Linear, Elon Lages Lima

178 Operadores Ortogonais Seção 14
donde A ∗ A = I E , logo (3) ⇒ (4). Se vale (4) e a é a matriz de A nas
bases ortonormais U ⊂ E, V ⊂ F então a T · a = I n e a é uma matriz
ortogonal, logo (4) ⇒ (5). Obviamente (5) ⇒ (6). Se vale (6), sejam
U = {u 1 ,...,u n }, V = {v 1 ,...,v m } e a = [a ij ] a matriz ortogonal de A
nessas bases. De
m∑
m∑
Au i = a ki v k e Au j = a kj v k
resulta
k=1
〈Au i ,Au j 〉 =
k=1
m∑
a ki a kj = δ ij ,
k=1
logo X = {x 1 ,...,x n } ⊂ F, com x i = Au i , é um conjunto ortonormal e
(6) ⇒ (7). Se vale (7), seja W = {w 1 ,...,w n } ⊂ E uma base ortonormal
qualquer. Para i,j = 1,...,n, temos
w i = ∑ k
p ki u k e
w j = ∑ k
p kj u k ,
onde a matriz de passagem p = (p ij ) é ortogonal, pelo Exemplo 14.3.
Pondo Z = {z 1 ,...,z n }, onde z i = Aw i , vem, para i,j = 1,...,n:
z i =
n∑
p ki Au k =
k=1
n∑
p ki x k e z j =
k=1
n∑
p kj x k .
k=1
Como X = {x 1 ,...,x n } é ortonormal, resulta daí que
〈z i ,z j 〉 =
n∑
p ki p kj = δ ij ,
k=1
logo Z é ortonormal e (7) ⇒ (8).
Finalmente, se vale (8), seja U = {u 1 ,...,u n } ⊂ E uma base ortonormal.
Para todo u = α 1 u 1 +···+α n u n ∈ E tem-se
n∑
|u| 2 = α 2 i .
Como {Au 1 ,...,Au n } ⊂ F é um conjunto ortonormal,
∣ |Au| 2 n∑ ∣∣∣∣
2 n∑
=
α
∣ i Au i = α 2 i = |u|2 ,
i=1
i=1
i=1