lgebra Linear, Elon Lages Lima

52 Produto de Transformações Lineares Seção 5
Distributividade à direita: C(A+B) = CA+CB.
Com efeito, para todo v ∈ E, tem-se
[C(A+B)]v = C[(A+B)v] = C(Av+Bv) = C(Av)+C(Bv)
= (CA)v+(CB)v = (CA+CB)v.
Exemplo 5.1. Sejam f,g,h: R → R definidas por f(x) = x, g(x) =
x + 1 e h(x) = x 2 . Então [h ◦ (f + g)](x) = 4x 2 + 4x + 1, enquanto
[(h◦f)+(h◦g)](x) = 2x 2 +2x+1, logo h◦(f+g) ≠ h◦f+h◦g. Isto
se dá porque h não é linear.
Outra conseqüência da linearidade de B é a
Homogeneidade: B(αA) = α(BA), válida para α ∈ R, A: E → F e
B: F → G quaisquer.
Evidentemente, dada A: E → F, tem-se AI E = A = I F A, de modo
que as aplicações identidade I E : E → E, I F : F → F são elementos
neutros para a multiplicação, cada uma delas do lado apropriado.
Diferenças notáveis entre o produto de transformações lineares
e o produto de números reais são as ausências da comutatividade,
da lei do corte e da inversa multiplicativa para uma transformação
≠ 0, além da presença de transformações nilpotentes, para as quais
tem-se A n = 0 com A ≠ 0. Deve-se ainda mencionar a restrição de
que o produtoBA só está definido quandoAtoma valores no domínio
de B. Esta restrição desaparece, naturalmente, quando se trata de
operadores lineares no mesmo espaço E: então o produto BA está
definido quaisquer que sejam A,B ∈ L(E).
Exemplo 5.2. Sejam P,R: R 2 → R 2 respectivamente a projeção ortogonal
sobre a retay = x e a rotação de um ângulo de90 ◦ em torno da
origem. Então, para todo v = (x,y) ∈ R 2 , tem-se Pv = 1 2 (x+y,x+y),
Rv = (−y,x). Segue-se que
RPv = 1 2 (−x−y,x+y)
e
PRv = 1 2 (x−y,x−y).
Portanto RPv ≠ PRv para todo v, exceto para v = (0,0). Observe que
bastaria que RPv ≠ PRv para um único v a fim de termos RP ≠ PR.