lgebra Linear, Elon Lages Lima

202 Pseudo-inversa Seção 16
16.13. Determine a pseudo-inversa de uma matriz diagonal d =
[d ij ] ∈ M(n × n). (Isto significa, naturalmente, a matriz de D + ,
onde D: R n → R n é o operador linear cuja matriz na base canônica
é d.) Considere explicitamente o caso em que a diagonal de d é
(1,0,−2,0,1/3).
16.14. Dada a transformação linear (não necessariamente injetiva)
A: E → F, sejam P: E → E e Q: F → F as projeções ortogonais sobre
Im(A ∗ ) e Im(A) respectivamente. Interprete e demonstre a igualdade
A + = PA −1 Q.
16.15. Defina o operador A: R 2 → R 2 pondo A(x,y) = (x−y,x−y).
Determine a matriz de A + : R 2 → R 2 na base canônica. Ache o vetor
v ∈ R 2 de menor norma tal que Av está o mais próximo possível de
w = (3,5).
16.16. Dado o vetor não-nulo a ∈ E, defina a transformação linear
A: R → E pondo A · 1 = a. Mostre que A ∗ : E → R é definida por
A ∗ ·w = 〈a,w〉 e, usando a expressão A + = (A ∗ A) −1 A ∗ , conclua que
A + : E → R é dada por A + ·w = 〈a,w〉/|a| 2 .
16.17. Fixado o vetor não-nulo b ∈ E, defina B: E → R pondo B·w =
〈b,w〉. Mostre que B + = B ∗ (BB ∗ ) −1 para concluir que B + : R → E
cumpre B + ·1 = b/|b| 2 .
16.18. Sejam A: R → E e B: E → R definidas por A·1 = a, B ·w =
〈b,w〉, onde a,b ∈ E são vetores fixados de tal modo que 〈a,b〉 ≠ 0.
Prove que as transformações lineares (BA) + : R → R e A + B + : R → R
são dadas por
(BA) + ·1 = 1
〈a,b〉
e
(A + B + )·1 = 〈a,b〉
|a| 2 ·|b| 2.
Conclua que, em geral, se tem (BA) + ≠ A + B + . Dê um exemplo concreto
desta desigualdade, com A: R → R 2 e B: R 2 → R.
16.19. Com a notação dos dois exercícios anteriores, prove que
(AB) + = B + A + .