lgebra Linear, Elon Lages Lima

164 Operadores Auto-Adjuntos Seção 13
para i ≠ j, portanto
〈Bv,w〉 =
r∑ √
λi 〈v i ,w i 〉 = 〈v,Bw〉 e 〈Bv,v〉 =
i=1
r∑
i=1
√
λi |v i | 2 .
LogoBéum operador não-negativo. Além disso, é claro queB 2 v = Av
para todo v ∈ E, logo B é uma raiz quadrada de A. Para provar que
é única a raiz quadrada não-negativa de A, começamos observando
que toda raiz quadrada de A comuta com A. Com efeito, se C 2 = A
então AC = C 2 C = CC 2 = CA. A observação seguinte é que se C
comuta com A então cada um dos auto-subespaços de A é invariante
por C. Com efeito,
v ∈ E λi ⇒ Av = λ i v ⇒ A(Cv) = C(Av) = C(λ i v) = λ i (Cv),
logo Cv ∈ E λi .
Mais uma observação: se C é uma raiz quadrada não-negativa
de A então, para cada i = 1,...,r, o único autovalor da restrição de
C a E λi é √ λ i . Com efeito, se w ∈ E λi é autovetor de C, digamos com
Cw = γ·w, então λ i w = Aw = C 2 w = γ 2 ·w, logo λ i = γ 2 e γ = √ λ i .
Agora o argumento final: seja C uma raiz quadrada não-negativa de
A. Cada auto-subespaçoE λi é invariante pelo operador auto-adjunto
C e o único autovalor de C em E λi é √ λ i . Logo Cw = √ λ i · w para
todo w ∈ E λi . Então, dado v = v 1 +···+v r , com v 1 ∈ E λ1 ,...,v r ∈ E λr ,
tem-se
Cv = √ λ 1 ·v 1 +···+ √ λ r ·v r
portanto C coincide com o operador B acima definido. A afirmação
sobre a positividade da raiz quadrada é óbvia.
Observação 1: Um dos argumentos acima usados permite mostrar
que se dois operadores auto-adjuntos A, B comutam então eles têm
um autovetor comum. Com efeito, seja λ 1 um autovalor de A. Como
vimos acima, a hipótese AB = BA implica que o subespaço E λ1 =
{v ∈ E;Av = λ 1 v} é invariante por B. Pelo corolário do Teorema
13.5, o operador auto-adjunto B possui um autovetor w ∈ E λ1 . Mas
todo vetor não-nulo em E λ1 é autovetor de A. Logo w é autovetor
comum de A e B. Usando repetidamente o Teorema 13.2 conclui-se
então que se dois operadores auto-adjuntos comutam então existe
uma base ortonormal formada por autovetores de ambos.