lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 9 Eliminação 107
temas se dizem equivalentes quando possuem o mesmo conjunto de
soluções.)
No final do processo, obtém-se um sistema a ′ x = b ′ , equivalente
ao sistema proposto ax = b, no qual a matriz [a ′ ; b ′ ] é escalonada.
(Isto é o mesmo que dizer que a ′ é escalonada.) O sistema a ′ x = b ′ é
facilmente resolvido de baixo para cima: acha-se primeiro o valor da
última incógnita, substituindo-a por esse valor na equação anterior
e assim por diante.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 9.6. Consideremos o sistema
y + 2z + 3t = 1
2x + y + 3z = 1
3x + 4y + 2z = 1
4x + 2y + t = 1
O escalonamento da matriz aumentada é feito abaixo:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
0 1 2 3 1 2 1 3 0 1
⎢2 1 3 0 1
⎥
⎣3 4 2 0 1⎦ −→ ⎢0 1 2 3 1
⎥
⎣3 4 2 0 1⎦ −→
4 2 0 1 1 4 2 0 1 1
−→
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
2 1 3 0 1 2 1 3 0 1
⎢0 1 2 3 1
⎥
⎣ 5
0
2
− 5 2
0 − 1 ⎦ −→ ⎢
0 1 2 3 1
⎥
⎣
2
0 0 − 15
2
− 15
2
−3⎦ .
7
0 0 −6 1 −1 0 0 0 7
5
Obtém-se assim a matriz aumentada do sistema
2x + y + 3z = 1
y + 2z + 3t = 1
− 15 2 z − 15 2 t = −3
7t = 7 5 .
Resolvendo este sistema de baixo para cima, vem: t = 1 5 , z = 1 5 ,
y = 0, x = 1 5
. Esta é a única solução do sistema dado. Como a matriz
do sistema tem posto 4, a solução existiria e seria única, fosse qual
fosse o segundo membro.