lgebra Linear, Elon Lages Lima

206 Tópicos Matriciais Seção 17
17.B Matrizes Triangulares
Uma matriz t = [t ij ] ∈ M(n × n) diz-se triangular superior quando
t ij = 0 para i > j e triangular inferior quando t ij = 0 para i < j.
Trataremos primordialmente de matrizes triangulares superiores.
As propriedades das triangulares inferiores são análogas e se
provam analogamente.
Uma matriz triangular superior é a matriz de um operador linear
T: R n → R n tal que 〈e i ,Te j 〉 = 0 para i > j. Se chamarmos de F i ⊂
R n o subespaço vetorial formado pelos vetores(x 1 ,...,x i ,...,0) cujas
últimas n−i coordenadas são nulas, a matriz do operador T: R n →
R n (na base canônica) é triangular superior se, e somente se, todos
os subespaços F o ⊂ ··· ⊂ F n são invariantes por T.
Com efeito, a condição 〈e i ,Te j 〉 = 0 para i > j significa que, para
cada j, as últimas n−j coordenadas do vetor Te j são nulas, ou seja,
que Te j ∈ F j para j = 1,...,n. Isto é o mesmo que dizer que T(F j ) ⊂ F j
para todo j.
Seguem-se algumas propriedades das matrizes triangulares superiores:
1) O produto de duas matrizes triangulares superiores é ainda uma
matriz triangular superior.
Com efeito, se o subespaço F i ⊂ R n é invariante por cada um dos
operadores S,T: R n → R n então F i é invariante pelo produto ST.
2) Uma matriz triangular superior t = [t ij ] é invertível se, e somente
se, os elementos t ii da sua diagonal são todos diferentes de zero. No
caso afirmativo, a inversa t −1 é triangular superior e os elementos de
sua diagonal são t −1
ii .
Com efeito, se todos ost ii são≠ 0, dado um vetor não-nulov ∈ R n
provemos que Tv ≠ 0 (onde T é o operador de R n cuja matriz na base
canônica é t). Sejav = x 1 e 1 +···+x r e r , comx r ≠ 0. Como〈e r ,Te i 〉 = 0
para i < r, temos
〈e r ,Tv〉 = ∑ i≤r
〈e r ,x i Te i 〉 = x r 〈e r ,Te r 〉 = x r t rr ,
portanto 〈e r ,Tv〉 ≠ 0, e daí Tv ≠ 0. Assim t é invertível.
Reciprocamente, se t (ou seja, T) é invertível então, para cada
i = 1,...,n, a restrição T: F i → F i , de T ao subespaço F i , é também