lgebra Linear, Elon Lages Lima

98 A Matriz de uma Transformação Linear Seção 8
8.28. Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) Toda matriz é soma de matrizes de posto 1.
( ) O conjunto das matrizes de postokemM(m×n) é um subespaço
vetorial.
( ) A matriz [ ]
x1 x 2 ... x n
y 1 y 2 ... y n
tem posto 2 se, e somente se, existem i, j tais que x i y j ≠ x j y i .
( ) Se A: E → E é um operador linear de posto 1 então E = N(A)⊕
Im(A).
8.29. Prove que uma matriz m × n tem posto r se, e somente se, é
possível selecionar r linhas e r colunas (porém não mais) de modo
que os elementos comuns a elas formem uma matriz invertível r×r.
[Sugestão: reduza ao caso r = min{m,n} e aplique o Teorema 8.2.]
8.30. Sejam f 1 ,...,f m : E → R funcionais lineares no espaço vetorial
E de dimensão n. Suponha que estes funcionais gerem em E ∗ =
L(E;R) uma variedade afim de dimensão r. Prove que o conjunto F,
formado pelos vetores v ∈ E tais que
f 1 (v) = f 2 (v) = ··· = f m (v),
é um subespaço vetorial de dimensão n−r+1.
8.31. Uma matriz n × n chama-se um quadrado mágico quando a
soma dos elementos de cada uma de suas linhas, de cada coluna,
da diagonal principal e da outra diagonal (ao todo 2n + 2 somas)
são iguais. Prove que, se n≥3, o conjunto Q n dos quadrados mágicos
n×n é um subespaço vetorial de dimensãon 2 −2n do espaçoM(n×n).
[Sugestão: use os Exercícios 8.30, 3.32 e 3.33.]
8.32. Em conformidade com o exercício anterior, determine os 8 elementos
restantes da matriz 4 × 4 abaixo, de modo a obter um quadrado
mágico
⎡ ⎤
1 2 3 ∗
⎢4 5 6 ∗
⎥
⎣7 8 ∗ ∗⎦
∗ ∗ ∗ ∗