lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 11 A Adjunta 143
11.18. Prove que uma projeção P: E → E, num espaço com produto
interno, é ortogonal (isto é, N(P) = Im(P) ⊥ ) se, e somente se, para
todo v ∈ E tem-se 〈Pv,v−Pv〉 = 0.
11.19. Use o exercício anterior para provar que se uma projeção
P: E → E cumpre |Pv| ≤ |v| para todo v ∈ E então P é ortogonal.
[Sugestão: suponha que, para algum v ∈ E, Pv não fosse ortogonal
a v − Pv. Tome w = pé da perpendicular baixada de 0 sobre a reta
que contém v e Pv. Então |w| < |Pv|. Mas todos os pontos desta reta
têm a mesma imagem por P. Logo |Pv| = |Pw| e daí |w| < |Pw|, uma
contradição.]
11.20. Ache uma base para o complemento ortogonal do subespaço
(plano) de R 3 gerado pelos vetores u = (3,−1,2) e v = (−1,2,3).
11.21. Dado o operador A: R 3 → R 3 , definido por A(x,y,z) =
(x+y+z,3x−2y−z,−2x+3y+2z), obtenha bases para os seguintes
subespaços de R 3 : Im(A), N(A), Im(A ∗ ) e N(A ∗ ).
11.22. Considere a base {u,v,w} ⊂ R 3 onde u = (1,1,1), v = (1,2,3),
w = (1,−2,1). Determine as matrizes (na base canônica) dos funcionais
lineares u ∗ ,v ∗ ,w ∗ : R 3 → R que formam a base dual de {u,v,w}.
11.23. Com a notação do exercício anterior, a base {u,v,w} ⊂ R 3
determina um isomorfismo ψ: (R 3 ) ∗ → R 3 , que a cada funcional f ∈
(R 3 ) ∗ faz corresponder sua matriz (do tipo1×3) na base dada. Prove
que ψ(f) = [a,b,c] ⇔ f = au ∗ +bv ∗ +cw ∗ .
11.24. Demonstre que (AB) ∗ = B ∗ A ∗ e A ∗∗ = A.
11.25. Estabeleça uma conexão entre os Exercícios 4.20 e 10.15 por
intermédio do Teorema 11.1.
11.26. Seja A: E → F uma transformação linear entre espaços de
dimensão finita, com produto interno. Se dim E < dim F, prove que
o operador AA ∗ : F → F não é invertível mas se N(A) = {0} então
A ∗ A: E → E é invertível. Dê um exemplo desta situação com E = R 2
e F = R 3 . Que se pode afirmar quando dim E > dim F ?
11.27. Num espaço vetorial E munido de produto interno, sejam
V = {v 1 ,...,v n } e W = {w 1 ,...,w n } bases tais que 〈v i ,w j 〉 = δ ij .
(Cfr. Exercício 10.15.) Prove que a matriz do operador linear A ∗
na base W é a transposta da matriz do operador A na base V.