lgebra Linear, Elon Lages Lima

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A Adjunta
Mostraremos, nesta seção, como o produto interno nos permite associar
a cada transformação linear A: E → F uma nova transformação
A ∗ : F → E, chamada a adjunta de A. (Em espaços sem produto interno
também existe uma noção de adjunta, mas aí se trata de uma
transformação linear F ∗ → E ∗ , do dual de F no dual de E. O produto
interno nos dá condição de permanecer com E e F. Isto é particularmente
interessante no caso de um operador linear A: E → E.) A
adjunta nos dá, por assim dizer, uma visão da transformação A sob
um novo ângulo. Essa mudança de ponto de vista é reveladora, especialmente
quando ocorre a existência de relações entre A e A ∗ .
Sejam dim E = n e dim F = m. Vimos na Seção 8 que a escolha
de bases em E e F determina um isomorfismo ϕ: L(E;F) → M(m ×
n), portanto o espaço vetorial L(E;F) das transformações lineares
de E em F tem dimensão mn. Em particular, o espaço E ∗ = L(E;R)
cujos elementos são os funcionais linearesf: E → R, chamado espaço
dual de E, tem dimensão n. Isto implica que E ∗ é isomorfo a E.
Na realidade, dada uma base V = {v 1 ,...,v n } ⊂ E, existe uma base
V ∗ = {v ∗ 1 ,...,v∗ n} ⊂ E ∗ , chamada base dual de V, onde, por definição,
para cada vetor v = Σα i v i ∈ E, tem-se v ∗ i (v) = α i. (A verificação
de que V ∗ ⊂ E ∗ é uma base pode ser feita diretamente ou então
mediante a observação de que ϕ(v ∗ i ) = e i = i-ésimo elemento da
base canônica de R n , onde ϕ: E ∗ → M(1 × n) = R n é o isomorfismo