lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 21 Espaços Vetoriais Complexos 297
21.17. Suponha que o polinômio mínimo m A (λ) = (λ−λ 1 )···(λ−λ k )
do operador linear A: E → E seja um produto de fatores distintos do
primeiro grau (λ i ≠ λ j se i ≠ j). Prove:
(a) Escrevendom A (λ) = p i (λ)(λ−λ i ) eB i = p i (A), tem-seA(B i v) =
λ i B i v (i = 1,...,k) para todo v ∈ E.
(b) Os polinômiosp 1 (λ),...,p k (λ) são primos entre si, logo existem
q 1 (λ),...,q k (λ) tais que
k∑
q i (λ)p i (λ) = 1.
i=1
(c) Seja C i = q i (A). Para todo v ∈ E tem-se v = ΣB i (C i v), logo os
autovetores de A geram E.
(d) O operador A é diagonalizável.
21.18. Sejam A, B, X operadores lineares no espaço vetorial E.
Prove:
(a) Se AX−XB = 0 então A 2 X = XB 2 e, mais geralmente, p(A)X =
Xp(B) para todo polinômio p.
(b) Se A e B não têm autovalores em comum então AX = XB se, e
somente se, X = 0.
(c) Se A e B não têm autovalores em comum então para todo operador
linear C: E → E existe um único X ∈ L(E) tal que AX −
XB = C.
21.19. Sejam λ 1 ,...,λ n os autovalores da matriz a, repetidos de
acordo com suas multiplicidades algébricas. Prove que
λ 2 1 +···+λ2 n = ∑ i,j
a ij a ji .
21.20. Se existir algum k ∈ N tal que A k = I, prove que o operador
A: E → E é diagonalizável. [Sugestão: Exercício 21.17.]