lgebra Linear, Elon Lages Lima

236 Formas Quadráticas Seção 18
A mudança de variáveis t = z− 3 2y nos dá portanto
ϕ(x,y,z) = 2s 2 −4t 2 +9y 2 .
Isto já nos diz que a forma quadrática ϕ tem posto 3 e índice 1, logo
é indefinida.
Se quisermos, podemos fazer a mudança de variáveis
e teremos
s = y 1
√ , t = y 2
2 2 , y = y 3
3
ϕ(x,y,z) = y 2 1 −y2 2 +y2 3 .
Evidentemente, não há dificuldade em obter a expressão das variáveis
y 1 , y 2 e y 3 em função de x, y, z e vice-versa. Mas, para efeito
de conhecer o índice e o posto de ϕ, isto é desnecessário.
Quádricas
O estudo das formas quadráticas tem uma aplicação interessante
à Geometria Analítica n-dimensional, que apresentaremos brevemente
aqui.
Um subconjunto Σ ⊂ R n chama-se uma quádrica central quando
existe uma forma quadrática ϕ: R n → R tal que Σ é definido pela
equação ϕ(v) = 1.
Se
ϕ(v) = ∑ a ij x i x j
i,j
para v = (x 1 ,...,x n ), isto significa que Σ é o conjunto dos pontos
(x 1 ,...,x n ) ∈ R n tais que
n∑
a ij x i x j = 1.
i,j=1
Segue-se imediatamente do Teorema 18.3 que, dada uma quádrica
central Σ ⊂ R n , existe uma base ortonormal U = {u 1 ,...,u n } em
R n , relativamente à qual a equação de Σ é
λ 1 y 2 1 +···+λ ny 2 n = 1,