lgebra Linear, Elon Lages Lima

18 Subespaços Seção 2
2.9. Prove que S(X) é a interseção de todos os subespaços vetoriais
que contêm o conjunto X ⊂ E.
2.10. Exiba três vetores u,v,w ∈ R 3 com as seguintes propriedades:
nenhum deles é múltiplo do outro, nenhuma das coordenadas é igual
a zero e R 3 não é gerado por eles.
2.11. Seja F o subespaço de R 3 gerado pelos vetores u = (1,1,1) e
v = (1,−1,−1). Ache números a, b, c com a seguinte propriedade:
um vetor w = (x,y,z) pertence a F se, e somente se, ax+by+cz = 0.
2.12. Exprima o vetor(1,−3,10) como combinação linear dos vetores
u = (1,0,0), v = (1,1,0) e w = (2,−3,5).
[ ] 4 −4
2.13. Mostre que a matriz d = pode ser escrita como
−6 16
combinação linear das matrizes
[ ] [ ] [ ]
1 2 −1 2 1 −2
a = , b =
e c = .
3 4 3 −4 −3 4
2.14. Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) O vetor w = (1,−1,2) pertence ao subespaço gerado por u =
(1,2,3) e v = (3,2,1).
( ) Qualquer vetor em R 3 pode ser expresso como combinação linear
dos vetores u = (−5,3,2) e v = (3,−1,3).
( ) Se X ⊂ Y então S(X) ⊂ S(Y).
( ) Se S(X) ⊂ S(Y) então X ⊂ Y.
( ) Se uma variedade afim V ⊂ E contém o vetor zero então V é
um subespaço vetorial de E.
2.15. Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
(a) O conjunto X ⊂ R 3 formado pelos vetores v = (x,y,z) tais que
z = 3x e x = 2y.
(b) O conjunto Y ⊂ R 3 formado pelos vetores v = (x,y,z) tais que
xy = 0.